曲线 y = f(x) 由方程 xy + ln(y + x) - 1 = 0 所确定，求曲线在 x = 0 处的切线方程和法线方程.

本题考查隐函数求导以及曲线切线方程和法线方程的求解。解题思路如下：

1. 首先，将$x = 0$代入给定的曲线方程$xy + \ln(y + x) - 1 = 0$，求出对应的$y$值，从而确定切点坐标。
2. 然后，对曲线方程两边关于$x$求导，利用求导的四则运算法则和复合函数求导法则，得到$y'$的表达式。
3. 接着，把切点的$x$、$y$值代入$y'$的表达式，求出切线的斜率$k$。
4. 最后，根据点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0,y_0)$为切点坐标，$k$为斜率）分别求出切线方程和法线方程。由于法线与切线垂直，所以法线的斜率$k_{法线}$与切线斜率$k$的乘积为$-1$，即$k_{法线}=-\frac{1}{k}$。

具体计算过程

1. 求切点坐标：
   将$x = 0$代入方程$xy + \ln(y + x) - 1 = 0$，得到：
   $0\times y+\ln(y + 0)-1 = 0$，即$\ln y = 1$。
   根据对数的性质，若$\ln a = b$，则$a = e^b$，所以$y = e$，故切点坐标为$(0,e)$。
2. 求$y'$：
   对原方程$xy + \ln(y + x) - 1 = 0$两边关于$x$求导。
   • 根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对$xy$求导得$(xy)^\prime = y + xy'$。
   • 根据复合函数求导法则，令$u = y + x$，则$(\ln(y + x))^\prime=\frac{1}{y + x}\times(y + x)^\prime=\frac{y' + 1}{y + x}$。
   • 常数$-1$的导数为$0$。
     所以求导后得到$y + xy' + \frac{y' + 1}{y + x} = 0$。
3. 求切线斜率$k$：
   将$x = 0$，$y = e$代入$y + xy' + \frac{y' + 1}{y + x} = 0$，得到：
   $e+0\times y'+\frac{y' + 1}{e + 0} = 0$，即$e+\frac{y' + 1}{e} = 0$。
   等式两边同时乘以$e$得：$e^2 + y' + 1 = 0$，移项可得$y' = -e^2 - 1$，所以切线的斜率$k = -e^2 - 1$。
4. 求切线方程：
   根据点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$，其中$(x_0,y_0)=(0,e)$，$k = -e^2 - 1$，可得切线方程为$y - e = (-e^2 - 1)(x - 0)$，即$y = (-e^2 - 1)x + e$。
   将其化为一般式：$(e^2 + 1)x + y - e = 0$。
5. 求法线方程：
   因为法线与切线垂直，所以法线的斜率$k_{法线}=-\frac{1}{k}=-\frac{1}{-e^2 - 1}=\frac{1}{e^2 + 1}$。
   再根据点斜式方程，可得法线方程为$y - e = \frac{1}{e^2 + 1}(x - 0)$，即$y = \frac{1}{e^2 + 1}x + e$。
   将其化为一般式：
   $(e^2 + 1)y=(x + e(e^2 + 1))$，即$x - (e^2 + 1)y + e^3 + e = 0$。