题目
1.证明:群中以下每组中的元素有相同的阶:-|||-1) ,(a)^-1 ,cac^(-1); 2)ab,ba;3)abc,bca,cab.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $a$ 和 ${a}^{-1}$ 有相同的阶
设 $|a|=n$，则 ${a}^{n}=e$，其中 $e$ 是群的单位元。考虑 ${a}^{-1}$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${({a}^{-1})}^{m}=e$。由于 ${a}^{-1}$ 是 $a$ 的逆元，我们有 ${a}^{-1}a=e$。因此，${({a}^{-1})}^{n}={a}^{-n}=e$。所以，$|{a}^{-1}|=n=|a|$。
步骤 2：证明 $a$ 和 $ca{c}^{-1}$ 有相同的阶
设 $|a|=n$，则 ${a}^{n}=e$。考虑 $ca{c}^{-1}$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${(ca{c}^{-1})}^{m}=e$。由于群的运算满足结合律，我们有 ${(ca{c}^{-1})}^{n}=c{a}^{n}{c}^{-1}=ce{c}^{-1}=e$。所以，$|ca{c}^{-1}|=n=|a|$。
步骤 3：证明 $ab$ 和 $ba$ 有相同的阶
设 $|ab|=n$，则 ${(ab)}^{n}=e$。考虑 $ba$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${(ba)}^{m}=e$。由于群的运算满足结合律，我们有 ${(ba)}^{n}=b{(ab)}^{n-1}a=b{e}^{n-1}a=ba$。因此，${(ba)}^{n}=e$。所以，$|ba|=n=|ab|$。
步骤 4：证明 $abc$、$bca$ 和 $cab$ 有相同的阶
设 $|abc|=n$，则 ${(abc)}^{n}=e$。考虑 $bca$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${(bca)}^{m}=e$。由于群的运算满足结合律，我们有 ${(bca)}^{n}=b{(ca)}^{n-1}c=b{e}^{n-1}c=bc$。因此，${(bca)}^{n}=e$。所以，$|bca|=n=|abc|$。同理，可以证明 $|cab|=n=|abc|$。
设 $|a|=n$，则 ${a}^{n}=e$，其中 $e$ 是群的单位元。考虑 ${a}^{-1}$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${({a}^{-1})}^{m}=e$。由于 ${a}^{-1}$ 是 $a$ 的逆元，我们有 ${a}^{-1}a=e$。因此，${({a}^{-1})}^{n}={a}^{-n}=e$。所以，$|{a}^{-1}|=n=|a|$。
步骤 2：证明 $a$ 和 $ca{c}^{-1}$ 有相同的阶
设 $|a|=n$，则 ${a}^{n}=e$。考虑 $ca{c}^{-1}$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${(ca{c}^{-1})}^{m}=e$。由于群的运算满足结合律，我们有 ${(ca{c}^{-1})}^{n}=c{a}^{n}{c}^{-1}=ce{c}^{-1}=e$。所以，$|ca{c}^{-1}|=n=|a|$。
步骤 3：证明 $ab$ 和 $ba$ 有相同的阶
设 $|ab|=n$，则 ${(ab)}^{n}=e$。考虑 $ba$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${(ba)}^{m}=e$。由于群的运算满足结合律，我们有 ${(ba)}^{n}=b{(ab)}^{n-1}a=b{e}^{n-1}a=ba$。因此，${(ba)}^{n}=e$。所以，$|ba|=n=|ab|$。
步骤 4：证明 $abc$、$bca$ 和 $cab$ 有相同的阶
设 $|abc|=n$，则 ${(abc)}^{n}=e$。考虑 $bca$ 的阶，即最小的正整数 $m$ 使得 ${(bca)}^{m}=e$。由于群的运算满足结合律，我们有 ${(bca)}^{n}=b{(ca)}^{n-1}c=b{e}^{n-1}c=bc$。因此，${(bca)}^{n}=e$。所以，$|bca|=n=|abc|$。同理，可以证明 $|cab|=n=|abc|$。