设 X 与 Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 F_X(x), F_Y(y)，则 Z = min(X, Y) 的分布函数为(）。A. F_Z(z)= F_X(z)F_Y(z)。B. F_Z(z)= F_Y(y)。C. F_Z(z)= minF_X(x), F_Y(y)。D. F_Z(z)= 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]

考查要点：本题主要考查独立随机变量的最小值分布函数的计算方法，需要理解事件“最小值不超过某个值”的概率与原变量间的关系。

解题核心思路：

• 关键等价关系：$Z = \min(X, Y) \leq z$ 等价于 “$X$ 或 $Y$ 至少有一个不超过 $z$”。
• 补集概率法：通过计算 $P(Z > z)$（即 $X > z$ 且 $Y > z$）的概率，结合独立性简化表达式，最终得到 $F_Z(z)$。

破题关键点：

1. 独立性应用：利用 $X$ 与 $Y$ 独立，将联合概率分解为乘积形式。
2. 补集转换：将“至少一个发生”转化为“全部不发生”的补集，简化计算。

步骤1：事件等价转换
$Z = \min(X, Y) \leq z$ 等价于 $X \leq z$ 或 $Y \leq z$，因此：
$P(Z \leq z) = P(X \leq z \cup Y \leq z).$

步骤2：补集概率计算
根据概率的补集性质：
$P(Z \leq z) = 1 - P(Z > z) = 1 - P(X > z \ \text{且} \ Y > z).$

步骤3：独立性应用
由于 $X$ 与 $Y$ 独立，联合概率可分解为：
$P(X > z, Y > z) = P(X > z) \cdot P(Y > z).$

步骤4：分布函数表达
利用分布函数定义 $P(X > z) = 1 - F_X(z)$，同理 $P(Y > z) = 1 - F_Y(z)$，代入得：
$F_Z(z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)].$

选项分析：

• 选项D 正确对应上述推导结果。
• 选项A 是最大值分布函数的形式（$P(X \leq z \ \text{且} \ Y \leq z)$），与本题无关。
• 选项C 仅在特殊情况下成立（如完全相关），但题目中 $X$ 与 $Y$ 独立，故不适用。