求函数 (x,y)=x(e)^-dfrac ({x^2+{y)^2}(2)} 的极值.

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解和二阶偏导数的充分判别法。

解题思路：

1. 求驻点：通过计算一阶偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$，联立方程求解驻点。
2. 二阶偏导数检验：计算二阶偏导数$A$、$B$、$C$，利用判别式$B^2 - AC$判断驻点是否为极值点，以及极值的性质。

关键点：

• 驻点条件：一阶偏导数同时为零。
• 充分判别法：通过二阶偏导数的组合判别极值的存在性及类型。

求驻点

1. 计算一阶偏导数：

   • $\frac{\partial f}{\partial x} = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$
   • $\frac{\partial f}{\partial y} = -xye^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$

2. 联立方程：

   • $\frac{\partial f}{\partial x} = 0 \Rightarrow 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
   • $\frac{\partial f}{\partial y} = 0 \Rightarrow -xy = 0 \Rightarrow y = 0$（当$x \neq 0$时）

   驻点：$(1, 0)$和$(-1, 0)$。

二阶偏导数检验

1. 计算二阶偏导数：

   • $A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (x^3 - 3x)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$
   • $B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -ye^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}(1 - x^2)$
   • $C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -xe^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}(1 - y^2)$

2. 代入驻点：

   • 在$(1, 0)$处：
     • $A = -\frac{2}{\sqrt{e}}$, $B = 0$, $C = -\frac{1}{\sqrt{e}}$
     • 判别式：$B^2 - AC = -\frac{2}{e} < 0$，且$A < 0$，故为极大值。
   • 在$(-1, 0)$处：
     • $A = \frac{2}{\sqrt{e}}$, $B = 0$, $C = \frac{1}{\sqrt{e}}$
     • 判别式：$B^2 - AC = -\frac{2}{e} < 0$，且$A > 0$，故为极小值。