题目

4.计算不定积分int xsin^2xdx

4.计算不定积分$\int x\sin^{2}xdx$

题目解答

答案

为了计算不定积分 $\int x\sin^2 x \, dx$，我们可以使用分部积分法和三角恒等式。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 首先，我们选择 $u = x$ 和 $dv = \sin^2 x \, dx$。那么，$du = dx$。为了找到 $v$，我们需要计算 $\int \sin^2 x \, dx$。我们可以使用半角恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$： \[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \] 所以，$v = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}$。现在，我们可以应用分部积分法： \[ \int x \sin^2 x \, dx = x \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) - \int \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) \, dx \] 简化第一项，我们得到： \[ x \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x \sin 2x}{4} \] 现在，我们需要计算第二项 $\int \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) \, dx$： \[ \int \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) \, dx = \int \frac{x}{2} \, dx - \int \frac{\sin 2x}{4} \, dx = \frac{x^2}{4} + \frac{\cos 2x}{8} \] Putting it all together, we get: \[ \int x \sin^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x \sin 2x}{4} - \left( \frac{x^2}{4} + \frac{\cos 2x}{8} \right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{x^2}{4} - \frac{\cos 2x}{8} = \frac{x^2}{4} - \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{\cos 2x}{8} \] 最后，我们加上积分常数 $C$： \[ \int x \sin^2 x \, dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{\cos 2x}{8} + C \] 所以，答案是： \[ \boxed{\frac{x^2}{4} - \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{\cos 2x}{8} + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法和三角恒等式的应用，需要学生熟练掌握不定积分的计算技巧。

解题核心思路：

  1. 分部积分法的选择：将多项式部分$x$设为$u$，剩余部分$\sin^2 x \, dx$设为$dv$，简化计算。
  2. 三角恒等式的应用：利用$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$将$\sin^2 x$转化为更易积分的形式。
  3. 分部积分后的二次积分：需对结果中的积分项进一步拆分并逐项计算。

破题关键点：

  • 正确选择$u$和$dv$，确保分部积分后的新积分比原积分更简单。
  • 准确应用半角公式，避免三角恒等式的错误代入。
  • 分步计算并合并同类项，注意积分过程中系数的处理。

分部积分法应用

  1. 选择$u$和$dv$
    设$u = x$，则$du = dx$；设$dv = \sin^2 x \, dx$，需先计算$v = \int \sin^2 x \, dx$。

  2. 计算$v$
    利用半角公式$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$：
    $\begin{aligned} v &= \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx \\ &= \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx \\ &= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C. \end{aligned}$

  3. 分部积分公式代入
    根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$：
    $\begin{aligned} \int x \sin^2 x \, dx &= x \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) - \int \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) dx \\ &= \frac{x^2}{2} - \frac{x \sin 2x}{4} - \int \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) dx. \end{aligned}$

计算剩余积分

  1. 拆分积分项
    $\int \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) dx = \frac{1}{2} \int x \, dx - \frac{1}{4} \int \sin 2x \, dx.$

  2. 逐项积分

    • $\frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{4}$
    • $-\frac{1}{4} \int \sin 2x \, dx = \frac{\cos 2x}{8}$

    因此，积分结果为：
    $\frac{x^2}{4} + \frac{\cos 2x}{8}.$

合并所有项

将分部积分结果与剩余积分结果合并：
$\begin{aligned}\int x \sin^2 x \, dx &= \frac{x^2}{2} - \frac{x \sin 2x}{4} - \left( \frac{x^2}{4} + \frac{\cos 2x}{8} \right) + C \\&= \frac{x^2}{4} - \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{\cos 2x}{8} + C.\end{aligned}$