题目

1.[单选题]写出四阶行列式中含有因子a_(11)a_(23)的项A. -a_(11)a_(23)a_(32)a_(44),a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)B. a_(11)a_(23)a_(32)a_(44),a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)C. -a_(11)a_(23)a_(32)a_(44),-a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)D. a_(11)a_(23)a_(32)a_(44),-a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)

1.[单选题]写出四阶行列式中含有因子$a_{11}a_{23}$的项

A. $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44},a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

B. $a_{11}a_{23}a_{32}a_{44},a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

C. $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44},-a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

D. $a_{11}a_{23}a_{32}a_{44},-a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

题目解答

答案

A. $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44},a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

解析

考查要点：本题主要考查四阶行列式的展开项构成规律，包括元素的位置排列、符号确定等。

解题核心思路：

  1. 确定已知因子的位置：因子$a_{11}$和$a_{23}$分别位于第1行第1列和第2行第3列。
  2. 剩余元素的列排列：第3行和第4行的元素必须从列2和列4中选取，且列号不重复。
  3. 计算排列的逆序数：根据排列的逆序数确定符号，最终写出符合条件的项。

破题关键点：

  • 列排列的唯一性：剩余列号只能是2和4的排列。
  • 符号由逆序数决定：排列$(1,3,2,4)$和$(1,3,4,2)$的逆序数分别为1和2，对应符号为负和正。

四阶行列式的展开项形式为：
$(-1)^{\tau(p_1p_2p_3p_4)} a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3} a_{4p_4}$
其中$p_1,p_2,p_3,p_4$是列的排列。

已知条件：

  • $a_{11}$对应$p_1=1$，$a_{23}$对应$p_2=3$。
  • 剩余列号$p_3$和$p_4$只能是2和4的排列。

可能的排列：

  1. 排列$(1,3,2,4)$：

    • 逆序数$\tau = 1$（仅3后有2）。
    • 符号为$(-1)^1 = -1$。
    • 对应项：$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。

  2. 排列$(1,3,4,2)$：

    • 逆序数$\tau = 2$（3后有2，4后有2）。
    • 符号为$(-1)^2 = 1$。
    • 对应项：$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。

选项匹配：

  • 选项A包含这两个项，符号正确。