题目

2 已知3阶方阵A的特征值为1、2、3，求|A^3-5A^2+7A|。

2 已知3阶方阵A的特征值为1、2、3，求$|A^{3}-5A^{2}+7A|$。

题目解答

答案

设多项式 $\varphi(\lambda) = \lambda^3 - 5\lambda^2 + 7\lambda$，则 $\varphi(A) = A^3 - 5A^2 + 7A$。 已知 $A$ 的特征值为1、2、3，计算得： \[ \varphi(1) = 3, \quad \varphi(2) = 2, \quad \varphi(3) = 3 \] $\varphi(A)$ 的特征值为3、2、3，其行列式为特征值之积： \[ |\varphi(A)| = 3 \times 2 \times 3 = 18 \] **答案：** $\boxed{18}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵多项式的特征值与行列式的性质，以及如何利用特征值简化行列式的计算。

解题核心思路：

  1. 矩阵多项式的特征值：若矩阵$A$的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则矩阵多项式$\varphi(A) = A^3 -5A^2 +7A$的特征值为$\varphi(\lambda_1), \varphi(\lambda_2), \varphi(\lambda_3)$。
  2. 行列式的性质：矩阵$\varphi(A)$的行列式等于其特征值的乘积。

破题关键点：

  • 构造多项式$\varphi(\lambda) = \lambda^3 -5\lambda^2 +7\lambda$，分别计算每个特征值代入后的结果。
  • 直接相乘得到行列式的值。

  1. 构造多项式
    设$\varphi(\lambda) = \lambda^3 -5\lambda^2 +7\lambda$，则$\varphi(A) = A^3 -5A^2 +7A$。

  2. 计算特征值对应的多项式值

    • 当$\lambda = 1$时：
      $\varphi(1) = 1^3 -5 \cdot 1^2 +7 \cdot 1 = 1 -5 +7 = 3$
    • 当$\lambda = 2$时：
      $\varphi(2) = 2^3 -5 \cdot 2^2 +7 \cdot 2 = 8 -20 +14 = 2$
    • 当$\lambda = 3$时：
      $\varphi(3) = 3^3 -5 \cdot 3^2 +7 \cdot 3 = 27 -45 +21 = 3$

  3. 行列式的计算
    $\varphi(A)$的特征值为$3, 2, 3$，因此行列式为：
    $|\varphi(A)| = 3 \times 2 \times 3 = 18$