题目
[1.19]设 approx U[ -1,b] , 若由切比雪夫不等式有 |X-1|lt varepsilon |geqslant dfrac {2)(3), 则 b= __-|||-= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量 $X$ 的期望和方差
由于 $X$ 服从区间 $[-1, b]$ 上的均匀分布，其期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 可以通过均匀分布的性质计算得到。均匀分布的期望为区间中点，方差为区间长度平方的十二分之一。
步骤 2：计算期望 $E(X)$
$E(X) = \frac{-1 + b}{2}$
步骤 3：计算方差 $D(X)$
$D(X) = \frac{(b - (-1))^2}{12} = \frac{(b + 1)^2}{12}$
步骤 4：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量 $X$ 和任意正数 $\varepsilon$，有 $P\{|X - E(X)| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$。题目中给出 $P\{|X - 1| < \varepsilon\} \geq \frac{2}{3}$，即 $P\{|X - 1| \geq \varepsilon\} \leq \frac{1}{3}$。根据切比雪夫不等式，我们有 $\frac{D(X)}{\varepsilon^2} \leq \frac{1}{3}$。
步骤 5：求解 $b$ 和 $E(X)$
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，我们有 $E(X) = 1$ 和 $D(X) = \frac{(b + 1)^2}{12}$。将 $E(X) = 1$ 代入 $E(X) = \frac{-1 + b}{2}$，解得 $b = 3$。将 $b = 3$ 代入 $D(X) = \frac{(b + 1)^2}{12}$，解得 $D(X) = 1$。因此，$E(X) = 1$。
由于 $X$ 服从区间 $[-1, b]$ 上的均匀分布，其期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 可以通过均匀分布的性质计算得到。均匀分布的期望为区间中点，方差为区间长度平方的十二分之一。
步骤 2：计算期望 $E(X)$
$E(X) = \frac{-1 + b}{2}$
步骤 3：计算方差 $D(X)$
$D(X) = \frac{(b - (-1))^2}{12} = \frac{(b + 1)^2}{12}$
步骤 4：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量 $X$ 和任意正数 $\varepsilon$，有 $P\{|X - E(X)| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$。题目中给出 $P\{|X - 1| < \varepsilon\} \geq \frac{2}{3}$，即 $P\{|X - 1| \geq \varepsilon\} \leq \frac{1}{3}$。根据切比雪夫不等式，我们有 $\frac{D(X)}{\varepsilon^2} \leq \frac{1}{3}$。
步骤 5：求解 $b$ 和 $E(X)$
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，我们有 $E(X) = 1$ 和 $D(X) = \frac{(b + 1)^2}{12}$。将 $E(X) = 1$ 代入 $E(X) = \frac{-1 + b}{2}$，解得 $b = 3$。将 $b = 3$ 代入 $D(X) = \frac{(b + 1)^2}{12}$，解得 $D(X) = 1$。因此，$E(X) = 1$。