24. (2015·浙江)设f(x+(1)/(x))=(x^2)/(x^4)+1(xneq0)，求f(x).

考查要点：本题主要考查函数的代换法求解析式，以及代数式的变形能力。关键在于通过变量替换将复杂的表达式转化为关于新变量的函数，并确定其定义域。

解题核心思路：

1. 变量代换：设$t = x + \frac{1}{x}$，将原式中的$x$用$t$表示。
2. 代数变形：利用平方关系将分母$x^4 + 1$转化为与$t$相关的表达式。
3. 定义域分析：根据$x + \frac{1}{x}$的取值范围确定$t$的合法区间。

破题关键点：

• 发现$x^2 + \frac{1}{x^2}$与$t$的关系：通过平方展开得到$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$。
• 分式化简：将原式转化为$\frac{1}{t^2 - 2}$。
• 定义域推导：利用不等式确定$t$的取值范围。

步骤1：变量代换
设$t = x + \frac{1}{x}$，则：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = t^2 - 2.$

步骤2：化简原式
原式$\frac{x^2}{x^4 + 1}$可变形为：
$\frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{t^2 - 2}.$

步骤3：确定函数表达式
因此，函数$f(t)$可表示为：
$f(t) = \frac{1}{t^2 - 2}.$

步骤4：分析定义域
根据$t = x + \frac{1}{x}$的取值范围：

• 当$x > 0$时，由均值不等式得$t \geq 2$；
• 当$x < 0$时，令$y = -x > 0$，则$t = -\left(y + \frac{1}{y}\right) \leq -2$。
  综上，$t \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。