题目
设X与Y是两个随机变量，f1(x),f2 (y)与f1(x),f2 (y)分别是对应的概率密度和分布函数，且f1(x),f2 (y)连续，则以下函数仍是概率密度函数的是（ ）f1(x),f2 (y)f1(x),f2 (y)f1(x),f2 (y)f1(x),f2 (y)
设X与Y是两个随机变量，
与
分别是对应的概率密度和分布函数，且连续，则以下函数仍是概率密度函数的是（ ）
题目解答
答案
∵
是概率密度函数的充要条件是
且
，
而且题干条件已经满足
又与分别是对应的概率密度和分布函数
即
所以在选项（D）中，
满足概率密度函数的条件，所以（D）为正确选项。
解析
步骤 1：理解概率密度函数的定义
概率密度函数$f(x)$的定义是：$0\leq f(x)$且${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$。这意味着概率密度函数在所有可能的取值范围内积分等于1，且在任何点上非负。
步骤 2：分析给定的选项
(A) ${f}_{1}(x)+{f}_{2}(y)$
(B) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)-{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$
(C) ${f}_{1}(x){f}_{2}(y)$
(D) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)+{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$
步骤 3：验证每个选项是否满足概率密度函数的条件
(A) ${f}_{1}(x)+{f}_{2}(y)$：由于${f}_{1}(x)$和${f}_{2}(y)$都是概率密度函数，它们的和不一定是概率密度函数，因为它们的积分可能不等于1。
(B) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)-{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$：这个表达式不一定是非负的，因此不满足概率密度函数的条件。
(C) ${f}_{1}(x){f}_{2}(y)$：这个表达式是两个概率密度函数的乘积，但它们的积分可能不等于1，因此不一定是概率密度函数。
(D) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)+{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$：由于${F}_{1}(x)$和${F}_{2}(y)$分别是${f}_{1}(x)$和${f}_{2}(y)$的分布函数，它们的导数分别是${f}_{1}(x)$和${f}_{2}(y)$。因此，${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{1}(x){F}_{1}(x)+{f}_{2}(y){F}_{2}(y)dx$可以写成${\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_{1}(x)d{F}_{1}(x)+{\int }_{-\infty }^{-\infty }{F}_{2}(y)d{F}_{2}(y)$，这等于$\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}=1$，满足概率密度函数的条件。
概率密度函数$f(x)$的定义是：$0\leq f(x)$且${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$。这意味着概率密度函数在所有可能的取值范围内积分等于1，且在任何点上非负。
步骤 2：分析给定的选项
(A) ${f}_{1}(x)+{f}_{2}(y)$
(B) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)-{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$
(C) ${f}_{1}(x){f}_{2}(y)$
(D) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)+{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$
步骤 3：验证每个选项是否满足概率密度函数的条件
(A) ${f}_{1}(x)+{f}_{2}(y)$：由于${f}_{1}(x)$和${f}_{2}(y)$都是概率密度函数，它们的和不一定是概率密度函数，因为它们的积分可能不等于1。
(B) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)-{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$：这个表达式不一定是非负的，因此不满足概率密度函数的条件。
(C) ${f}_{1}(x){f}_{2}(y)$：这个表达式是两个概率密度函数的乘积，但它们的积分可能不等于1，因此不一定是概率密度函数。
(D) ${f}_{1}(x){F}_{1}(x)+{f}_{2}(y){F}_{2}(y)$：由于${F}_{1}(x)$和${F}_{2}(y)$分别是${f}_{1}(x)$和${f}_{2}(y)$的分布函数，它们的导数分别是${f}_{1}(x)$和${f}_{2}(y)$。因此，${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{1}(x){F}_{1}(x)+{f}_{2}(y){F}_{2}(y)dx$可以写成${\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_{1}(x)d{F}_{1}(x)+{\int }_{-\infty }^{-\infty }{F}_{2}(y)d{F}_{2}(y)$，这等于$\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}=1$，满足概率密度函数的条件。