题目

下列矩阵中是正交矩阵的 ()下列矩阵中是正交矩阵的 () 下列矩阵中是正交矩阵的 ()下列矩阵中是正交矩阵的 ()下列矩阵中是正交矩阵的 ()

$下列矩阵中是正交矩阵的（\ \ \ ）$

$A.\left [ {\begin{matrix} 1 &0 \newline 0 &2 \end{matrix}} \right ]$

$B.\left [ {\begin{matrix} 1 & 1\newline 0 &2 \end{matrix}} \right ]$

$C.\frac{1}{9}\left [ {\begin{matrix} 1 &-8 & -4\newline -8 &1 &-4 \newline -4&-4 &7 \end{matrix}} \right ]$

$D.\left [ {\begin{matrix} 1 &-8 & -4\newline -8 &1 &-4 \newline -4&-4 &7 \end{matrix}} \right ]$

题目解答

答案

$解：$

$根据正交矩阵的定义可得AA^T=A^TA=E$

$A.$ $\left [ {\begin{matrix} 1 &0 \newline 0 &2 \end{matrix}} \right ]$ $\left [ {\begin{matrix} 1 &0 \newline 0 &2 \end{matrix}} \right ]^{T}$ $=\left [ {\begin{matrix} 1 &0 \newline 0 &4 \end{matrix}} \right ]\ne E$

$B.\left [ {\begin{matrix} 1 & 1\newline 0 &2 \end{matrix}} \right ]$ $\left [ {\begin{matrix} 1 & 1\newline 0 &2 \end{matrix}} \right ]^{T}$ $=\left [ {\begin{matrix} 2& 2\newline 2 &4 \end{matrix}} \right ]\ne E$

$C.\frac{1}{9}\left [ {\begin{matrix} 1 &-8 & -4\newline -8 &1 &-4 \newline -4&-4 &7 \end{matrix}} \right ]\frac{1}{9}\left [ {\begin{matrix} 1 &-8 & -4\newline -8 &1 &-4 \newline -4&-4 &7 \end{matrix}} \right ]^{T}$

$=\frac{1}{81}\left [ {\begin{matrix} 81&0 & 0\newline 0 &81 &0\newline 0&0 &81 \end{matrix}} \right ]$ $=\left [ {\begin{matrix} 1 &0& 0\newline 0 &1 &0 \newline 0&0&1 \end{matrix}} \right ]$ $=E$

$D.\left [ {\begin{matrix} 1 &-8 & -4\newline -8 &1 &-4 \newline -4&-4 &7 \end{matrix}} \right ]\left [ {\begin{matrix} 1 &-8 & -4\newline -8 &1 &-4 \newline -4&-4 &7 \end{matrix}} \right ]^{T}$

$=\left [ {\begin{matrix} 81&0 & 0\newline 0 &81 &0 \newline 0&0 &81 \end{matrix}} \right ]\ne E$

$综上所述，本题选择C选项$

解析

步骤 1：定义正交矩阵
正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵，即 $A{A}^{T}={A}^{T}A=E$，其中 $E$ 是单位矩阵。
步骤 2：计算每个选项的 $A{A}^{T}$ 和 ${A}^{T}A$
A. 计算 $A{A}^{T}$ 和 ${A}^{T}A$，发现不等于单位矩阵。
B. 计算 $A{A}^{T}$ 和 ${A}^{T}A$，发现不等于单位矩阵。
C. 计算 $A{A}^{T}$ 和 ${A}^{T}A$，发现等于单位矩阵。
D. 计算 $A{A}^{T}$ 和 ${A}^{T}A$，发现不等于单位矩阵。
步骤 3：选择正确的选项
根据计算结果，只有选项 C 满足正交矩阵的定义。