题目
若 n 阶 方阵 A 满足^2=A，其中 E 为 n 阶 单位方阵则下列表述中错误的是 ( ) A A 只 能为单位阵 B ^2=AC ^2=AD 如果 A 可逆，则 A 一定为单位阵 E A 可以只经过初等行变换变为单位 矩阵 E
若 n 阶 方阵 A 满足
，其中 E 为 n 阶 单位方阵则下列表述中错误的是 ( )
A A 只 能为单位阵
B 
C 
D 如果 A 可逆，则 A 一定为单位阵
E A 可以只经过初等行变换变为单位 矩阵 E
题目解答
答案
通过公式
可进行反推，
由题目可知，A正确
B可举反例，
A满足
，但
，B错误
C
C正确
D利用公式，当A可逆时，同乘
，可得到
，D正确
由题目和运算的法则可知，E正确
故答案选为B
解析
步骤 1：分析选项 A
题目中给出的条件是${A}^{2}=A$，这表明 A 是幂等矩阵。幂等矩阵可以是单位矩阵，但也可以是其他矩阵，比如零矩阵或某些投影矩阵。因此，A 不一定只能为单位矩阵。
步骤 2：分析选项 B
对于幂等矩阵 A，其行列式可以是 0 或 1。如果 A 是单位矩阵，则$|A|=1$；如果 A 是零矩阵，则$|A|=0$。因此，选项 B 不一定总是正确的。
步骤 3：分析选项 C
对于幂等矩阵 A，有${A}^{2}=A$，则$A(A-E)=0$。这表明矩阵 A 和矩阵$(E-A)$的列空间是正交的。因此，矩阵 A 和矩阵$(E-A)$的秩之和等于 n，即$r(A)+r(E-A)=n$。
步骤 4：分析选项 D
如果 A 可逆，则存在${A}^{-1}$使得${AA}^{-1}={A}^{-1}A=E$。由${A}^{2}=A$，两边同时乘以${A}^{-1}$，得到$A=E$。因此，如果 A 可逆，则 A 一定为单位矩阵。
步骤 5：分析选项 E
对于幂等矩阵 A，如果 A 可以通过初等行变换变为单位矩阵 E，则 A 必须是可逆的。由步骤 4 可知，如果 A 可逆，则 A 一定为单位矩阵。因此，选项 E 是正确的。
题目中给出的条件是${A}^{2}=A$，这表明 A 是幂等矩阵。幂等矩阵可以是单位矩阵，但也可以是其他矩阵，比如零矩阵或某些投影矩阵。因此，A 不一定只能为单位矩阵。
步骤 2：分析选项 B
对于幂等矩阵 A，其行列式可以是 0 或 1。如果 A 是单位矩阵，则$|A|=1$；如果 A 是零矩阵，则$|A|=0$。因此，选项 B 不一定总是正确的。
步骤 3：分析选项 C
对于幂等矩阵 A，有${A}^{2}=A$，则$A(A-E)=0$。这表明矩阵 A 和矩阵$(E-A)$的列空间是正交的。因此，矩阵 A 和矩阵$(E-A)$的秩之和等于 n，即$r(A)+r(E-A)=n$。
步骤 4：分析选项 D
如果 A 可逆，则存在${A}^{-1}$使得${AA}^{-1}={A}^{-1}A=E$。由${A}^{2}=A$，两边同时乘以${A}^{-1}$，得到$A=E$。因此，如果 A 可逆，则 A 一定为单位矩阵。
步骤 5：分析选项 E
对于幂等矩阵 A，如果 A 可以通过初等行变换变为单位矩阵 E，则 A 必须是可逆的。由步骤 4 可知，如果 A 可逆，则 A 一定为单位矩阵。因此，选项 E 是正确的。