设某类晶体管的寿命（以小时计）具有如下密度函数f(x) = } (1000)/(x^2), & x > 1000 0, & (else) 假设有5个相同型号的这种电子管，它们的寿命相互独立，则一台电子管收音机在开始使用1500小时中，恰好有2个需要替换的概率为（ ）。A. 2/3B. 40/243C. 80/243D. 1/3

本题主要考查连续型随机变量的概率计算以及二项分布的应用。解题的关键思路是先根据给定的概率密度函数求出一个晶体管在1500小时内需要替换的概率，再利用二项分布的概率公式计算5个独立晶体管中恰好有2个需要替换的概率。

1. 计算一个晶体管在1500小时内需要替换的概率：
   已知晶体管寿命$X$的概率密度函数为$f(x) = \begin{cases} \frac{1000}{x^2}, & x > 1000 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$，一个晶体管在1500小时内需要替换意味着其寿命$X$小于等于1500小时，即求$P(X \leq 1500)$。
   根据连续型随机变量概率的计算公式$P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$，可得：
   $P(X \leq 1500) = \int_{1000}^{1500} \frac{1000}{x^2} \, dx$
   对$\int_{1000}^{1500} \frac{1000}{x^2} \, dx$进行计算，先对被积函数$\frac{1000}{x^2}$进行积分，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int \frac{1000}{x^2}dx = 1000\int x^{-2}dx = 1000\times\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}+C = -\frac{1000}{x}+C$。
   再根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx = F(b) - F(a)$，可得：
   $\int_{1000}^{1500} \frac{1000}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1000}{x}\right]_{1000}^{1500}=-\frac{1000}{1500}-(-\frac{1000}{1000}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
   所以一个晶体管在1500小时内需要替换的概率为$\frac{1}{3}$。
2. 计算5个独立晶体管中恰好有2个需要替换的概率：
   因为5个晶体管的寿命相互独立，且每个晶体管在1500小时内需要替换的概率都为$\frac{1}{3}$，所以这是一个二项分布问题，设$Y$表示5个晶体管中需要替换的个数，则$Y\sim B(5,\frac{1}{3})$。
   二项分布的概率公式为$P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$，其中$n$是试验次数，$k$是指定事件发生的次数，$p$是每次试验中指定事件发生的概率。
   这里$n = 5$，$k = 2$，$p = \frac{1}{3}$，则$P(Y = 2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)^{5 - 2}$。
   根据组合数公式$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，可得$\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$。
   所以$P(Y = 2) = 10\times \left(\frac{1}{3}\right)^2\times \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 10\times\frac{1}{9}\times\frac{8}{27} = \frac{80}{243}$。