题目

填空题（共6题，47.0分）11.（5.0分）lim_((x,y)to(0,0))(xy)/(sqrt(xy+4)-2)=()第1空请输入答案

填空题（共6题，47.0分） 11.（5.0分）$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{xy+4}-2}=()$ 第1空 请输入答案

题目解答

答案

将分母有理化，得 \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy(\sqrt{xy+4}+2)}{xy+4-4} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} (\sqrt{xy+4}+2). \] 当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$xy \to 0$，故 \[ \sqrt{xy+4} \to 2, \quad \text{因此} \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} (\sqrt{xy+4}+2) = 2+2 = 4. \] 答案：$\boxed{4}$

解析

考查要点：本题主要考查二元函数的极限计算，重点在于运用分母有理化的方法简化表达式，并结合代数运算求解极限。

解题核心思路：
当分母为根式减常数时，通常通过分母有理化消除根号，将原式转化为更易处理的形式。通过乘以共轭表达式，分母变为多项式，分子相应调整后约分，最终简化为直接代入求值。

破题关键点：

  1. 识别分母结构，选择有理化方法；
  2. 正确进行代数变形，约分后简化表达式；
  3. 判断极限是否存在，确认路径无关性。

步骤1：分母有理化
原式为：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{xy+4}-2}$
将分子和分母同时乘以共轭表达式 $\sqrt{xy+4} + 2$：
$\frac{xy}{\sqrt{xy+4}-2} \cdot \frac{\sqrt{xy+4}+2}{\sqrt{xy+4}+2} = \frac{xy(\sqrt{xy+4}+2)}{(\sqrt{xy+4})^2 - 2^2}$

步骤2：化简分母
分母展开后为：
$(\sqrt{xy+4})^2 - 2^2 = (xy + 4) - 4 = xy$
因此，原式化简为：
$\frac{xy(\sqrt{xy+4}+2)}{xy} = \sqrt{xy+4} + 2$

步骤3：代入求极限
当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$xy \to 0$，故：
$\sqrt{xy+4} \to \sqrt{0+4} = 2$
因此，极限值为：
$\sqrt{xy+4} + 2 \to 2 + 2 = 4$