题目
[题目]设连续函数f(x)满足 (x)=(x)^2-(int )_(0)^2f(x)dx ,则-|||-(int )_(0)^2f(x)dx=
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义积分常数
设 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx=k$，则 $f(x)={x}^{2}-k$。
步骤 2：计算积分
将 $f(x)$ 的表达式代入积分 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$ 中，得到 ${\int }_{0}^{2}({x}^{2}-k)dx$。
步骤 3：求解积分
计算积分 ${\int }_{0}^{2}({x}^{2}-k)dx$，得到 $\dfrac {1}{3}{x}^{3}-kx{{t}_{0}}^{2}$，即 $\dfrac {8}{3}-2k=k$。
步骤 4：求解 k
解方程 $\dfrac {8}{3}-2k=k$，得到 $k=\dfrac {8}{3}\times \dfrac {1}{3}=\dfrac {8}{9}$。
步骤 5：计算 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$
将 $k=\dfrac {8}{9}$ 代入 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$ 中，得到 ${\int }_{0}^{2}({x}^{2}-\dfrac {8}{9})dx=\dfrac {8}{3}-\dfrac {16}{9}=\dfrac {8}{9}$。
设 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx=k$，则 $f(x)={x}^{2}-k$。
步骤 2：计算积分
将 $f(x)$ 的表达式代入积分 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$ 中，得到 ${\int }_{0}^{2}({x}^{2}-k)dx$。
步骤 3：求解积分
计算积分 ${\int }_{0}^{2}({x}^{2}-k)dx$，得到 $\dfrac {1}{3}{x}^{3}-kx{{t}_{0}}^{2}$，即 $\dfrac {8}{3}-2k=k$。
步骤 4：求解 k
解方程 $\dfrac {8}{3}-2k=k$，得到 $k=\dfrac {8}{3}\times \dfrac {1}{3}=\dfrac {8}{9}$。
步骤 5：计算 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$
将 $k=\dfrac {8}{9}$ 代入 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$ 中，得到 ${\int }_{0}^{2}({x}^{2}-\dfrac {8}{9})dx=\dfrac {8}{3}-\dfrac {16}{9}=\dfrac {8}{9}$。