题目
4.判定下列级数的收敛性:-|||-(1) dfrac (3)(4)+2((dfrac {3)(4))}^2+3((dfrac {3)(4))}^3+... +n((dfrac {3)(4))}^n+... )^n+···;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定级数的一般项
级数的一般项为 ${u}_{n}=n{(\dfrac {3}{4})}^{n}$。
步骤 2：应用比值审敛法
比值审敛法的条件是计算 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}$，如果该极限小于1，则级数收敛。
步骤 3：计算极限
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {(n+1){(\dfrac {3}{4})}^{n+1}}{n{(\dfrac {3}{4})}^{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n}\cdot \dfrac {3}{4}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac {1}{n}\right)\cdot \dfrac {3}{4}=\dfrac {3}{4}$。
步骤 4：判断收敛性
由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\dfrac {3}{4}\lt 1$，根据比值审敛法，级数收敛。
级数的一般项为 ${u}_{n}=n{(\dfrac {3}{4})}^{n}$。
步骤 2：应用比值审敛法
比值审敛法的条件是计算 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}$，如果该极限小于1，则级数收敛。
步骤 3：计算极限
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {(n+1){(\dfrac {3}{4})}^{n+1}}{n{(\dfrac {3}{4})}^{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n}\cdot \dfrac {3}{4}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac {1}{n}\right)\cdot \dfrac {3}{4}=\dfrac {3}{4}$。
步骤 4：判断收敛性
由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\dfrac {3}{4}\lt 1$，根据比值审敛法，级数收敛。