题目
4.8 将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数:-|||-(1) dfrac (z+1)({z)^2(z-1)} lt |z|lt 1 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_5eb754c191dc2f16f4c11f90c7902126.jpglt |z|lt +infty =-|||-(2) ^2(e)^dfrac (1{x)},0lt |z|lt +infty ;-|||-(3) dfrac ({z)^2-2z+5}((z-2)({z)^2+1)} https:/img.zuoyebang.cc/zyb_5eb754c191dc2f16f4c11f90c7902126.jpglt |z|lt 2 =-|||-(4) cos dfrac (1)(1-z),0lt |z-1|lt +infty ,
题目解答
答案
解析
(1) $\dfrac {z+1}{{z}^{2}(z-1)}$ 在 $0\lt |z|\lt 1$ 和 $1\lt |z|\lt +\infty $ 的洛朗级数展开
步骤 1：分解函数
将函数分解为部分分式，以便于展开。
$$\dfrac {z+1}{{z}^{2}(z-1)} = \dfrac {A}{z} + \dfrac {B}{{z}^{2}} + \dfrac {C}{z-1}$$
步骤 2：求解系数
通过比较系数，求解出 A, B, C 的值。
步骤 3：展开为洛朗级数
根据 $0\lt |z|\lt 1$ 和 $1\lt |z|\lt +\infty $ 的条件，分别展开为洛朗级数。
(2) ${z}^{2}{e}^{\dfrac {1}{x}}$ 在 $0\lt |z|\lt +\infty $ 的洛朗级数展开
步骤 1：展开 $e^{\frac{1}{x}}$
利用 $e^x$ 的泰勒级数展开，将 $e^{\frac{1}{x}}$ 展开。
步骤 2：乘以 ${z}^{2}$
将 ${z}^{2}$ 乘以 $e^{\frac{1}{x}}$ 的展开式。
步骤 3：整理为洛朗级数
整理得到 ${z}^{2}{e}^{\dfrac {1}{x}}$ 的洛朗级数。
(3) $\dfrac {{z}^{2}-2z+5}{(z-2)({z}^{2}+1)}$ 在 $1\lt |z|\lt 2$ 的洛朗级数展开
步骤 1：分解函数
将函数分解为部分分式，以便于展开。
$$\dfrac {{z}^{2}-2z+5}{(z-2)({z}^{2}+1)} = \dfrac {A}{z-2} + \dfrac {Bz+C}{{z}^{2}+1}$$
步骤 2：求解系数
通过比较系数，求解出 A, B, C 的值。
步骤 3：展开为洛朗级数
根据 $1\lt |z|\lt 2$ 的条件，展开为洛朗级数。
(4) $\cos \dfrac {1}{1-z}$ 在 $0\lt |z-1|\lt +\infty $ 的洛朗级数展开
步骤 1：展开 $\cos x$
利用 $\cos x$ 的泰勒级数展开，将 $\cos \dfrac {1}{1-z}$ 展开。
步骤 2：整理为洛朗级数
整理得到 $\cos \dfrac {1}{1-z}$ 的洛朗级数。
步骤 1：分解函数
将函数分解为部分分式，以便于展开。
$$\dfrac {z+1}{{z}^{2}(z-1)} = \dfrac {A}{z} + \dfrac {B}{{z}^{2}} + \dfrac {C}{z-1}$$
步骤 2：求解系数
通过比较系数，求解出 A, B, C 的值。
步骤 3：展开为洛朗级数
根据 $0\lt |z|\lt 1$ 和 $1\lt |z|\lt +\infty $ 的条件，分别展开为洛朗级数。
(2) ${z}^{2}{e}^{\dfrac {1}{x}}$ 在 $0\lt |z|\lt +\infty $ 的洛朗级数展开
步骤 1：展开 $e^{\frac{1}{x}}$
利用 $e^x$ 的泰勒级数展开，将 $e^{\frac{1}{x}}$ 展开。
步骤 2：乘以 ${z}^{2}$
将 ${z}^{2}$ 乘以 $e^{\frac{1}{x}}$ 的展开式。
步骤 3：整理为洛朗级数
整理得到 ${z}^{2}{e}^{\dfrac {1}{x}}$ 的洛朗级数。
(3) $\dfrac {{z}^{2}-2z+5}{(z-2)({z}^{2}+1)}$ 在 $1\lt |z|\lt 2$ 的洛朗级数展开
步骤 1：分解函数
将函数分解为部分分式，以便于展开。
$$\dfrac {{z}^{2}-2z+5}{(z-2)({z}^{2}+1)} = \dfrac {A}{z-2} + \dfrac {Bz+C}{{z}^{2}+1}$$
步骤 2：求解系数
通过比较系数，求解出 A, B, C 的值。
步骤 3：展开为洛朗级数
根据 $1\lt |z|\lt 2$ 的条件，展开为洛朗级数。
(4) $\cos \dfrac {1}{1-z}$ 在 $0\lt |z-1|\lt +\infty $ 的洛朗级数展开
步骤 1：展开 $\cos x$
利用 $\cos x$ 的泰勒级数展开，将 $\cos \dfrac {1}{1-z}$ 展开。
步骤 2：整理为洛朗级数
整理得到 $\cos \dfrac {1}{1-z}$ 的洛朗级数。