例-43 已知函数f(x)=a(1-2|x-(1)/(2)|)，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x=(1)/(2)对称；(2)若x_(0)满足f[f(x_(0))]=x_(0)，但f(x_(0))≠x_(0)，则称x_(0)为函数f(x)的二阶周期点，若0<(1)/(2)，的二阶周期点的个数.

1. 函数对称性的证明：通过变量代换验证函数关于直线$x=\frac{1}{2}$对称。
2. 分段函数的周期点分析：结合函数分段表达式，解方程$f(f(x))=x$并排除不动点，确定二阶周期点的存在性。

解题核心思路：

1. 对称性证明：将$x$替换为$\frac{1}{2}+h$和$\frac{1}{2}-h$，验证函数值相等。
2. 二阶周期点分析：
   • 将函数$f(x)$分段为$0 \le x \le \frac{1}{2}$和$\frac{1}{2} < x \le 1$两段。
   • 分析$f(f(x))=x$的解，排除满足$f(x)=x$的不动点，剩余解即为二阶周期点。
   • 结合$a$的范围$0 < a < \frac{1}{2}$，判断解是否在定义域内。

第（1）题

证明函数$f(x)$关于$x=\frac{1}{2}$对称

1. 变量代换：令$x = \frac{1}{2} + h$，则$f\left(\frac{1}{2} + h\right) = a\left(1 - 2\left|\frac{1}{2} + h - \frac{1}{2}\right|\right) = a(1 - 2|h|)$。
2. 对称性验证：
   $f\left(\frac{1}{2} + h\right) = a(1 - 2|h|) = f\left(\frac{1}{2} - h\right)$
   因此，函数关于$x = \frac{1}{2}$对称。

第（2）题

求二阶周期点的个数

1. 分段函数表达式：
   $f(x) = \begin{cases} 2ax, & 0 \le x \le \frac{1}{2} \\ 2a(1 - x), & \frac{1}{2} < x \le 1 \end{cases}$
2. 分析$f(f(x)) = x$：
   • 当$x \in [0, \frac{1}{2}]$时：
     $f(x) = 2ax \implies f(f(x)) = 2a \cdot 2ax = 4a^2x$
     方程$4a^2x = x$解得$x = 0$，但$f(0) = 0$，故$x=0$是不动点，不满足二阶周期点条件。
   • 当$x \in (\frac{1}{2}, 1]$时：
     $f(x) = 2a(1 - x) \implies f(f(x)) = 2a \cdot 2a(1 - x) = 4a^2(1 - x)$
     方程$4a^2(1 - x) = x$解得$x = \frac{4a^2}{1 + 4a^2}$。
     验证区间：
     $\frac{4a^2}{1 + 4a^2} < \frac{1}{2} \quad (\text{因} \ 0 < a < \frac{1}{2})$
     故该解不在$(\frac{1}{2}, 1]$区间内，无有效解。
3. 结论：无满足条件的二阶周期点。