4.(单选题)由圆柱体x^2+y^2=4以及平面z=0，y+z=4所围成的立体的体积为() A. 8 B. 16 C. 16pi D. 8pi

为了求出由圆柱体 $x^2 + y^2 = 4$ 以及平面 $z = 0$ 和 $y + z = 4$ 所围成的立体的体积，我们可以使用柱坐标系下的三重积分。下面将逐步进行计算。 1. **确定积分区域：** - 圆柱体 $x^2 + y^2 = 4$ 在 $xy$-平面上的投影是一个半径为2的圆，中心在原点。 - 平面 $z = 0$ 是 $xy$-平面。 - 平面 $y + z = 4$ 可以改写为 $z = 4 - y$。 2. **转换到柱坐标系：** - 在柱坐标系中， $x = r \cos \theta$， $y = r \sin \theta$， $z = z$。 - 圆柱体 $x^2 + y^2 = 4$ 变为 $r = 2$。 - 平面 $z = 0$ 保持不变。 - 平面 $y + z = 4$ 变为 $z = 4 - r \sin \theta$。 3. **设置三重积分：** - 积分区域 $D$ 在 $xy$-平面上是半径为2的圆，所以 $r$ 的范围是 $0$ 到 $2$， $\theta$ 的范围是 $0$ 到 $2\pi$， $z$ 的范围是 $0$ 到 $4 - r \sin \theta$。 - 立体的体积 $V$ 可以表示为： \[ V = \iiint_D dV = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4 - r \sin \theta} r \, dz \, dr \, d\theta \] 4. **计算积分：** - 首先对 $z$ 积分： \[ \int_0^{4 - r \sin \theta} r \, dz = r \left[ z \right]_0^{4 - r \sin \theta} = r (4 - r \sin \theta) = 4r - r^2 \sin \theta \] - 接下来对 $r$ 积分： \[ \int_0^2 (4r - r^2 \sin \theta) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^3}{3} \sin \theta \right]_0^2 = 2 \cdot 2^2 - \frac{2^3}{3} \sin \theta = 8 - \frac{8}{3} \sin \theta \] - 最后对 $\theta$ 积分： \[ \int_0^{2\pi} \left( 8 - \frac{8}{3} \sin \theta \right) \, d\theta = \int_0^{2\pi} 8 \, d\theta - \int_0^{2\pi} \frac{8}{3} \sin \theta \, d\theta = 8 \theta \bigg|_0^{2\pi} - \frac{8}{3} (-\cos \theta) \bigg|_0^{2\pi} = 16\pi - 0 = 16\pi \] 因此，由圆柱体 $x^2 + y^2 = 4$ 以及平面 $z = 0$ 和 $y + z = 4$ 所围成的立体的体积为 $\boxed{16\pi}$。 正确答案是 $\boxed{C}$。