y=(1+x^2)arctan x 求 (d^2 y)/(dx^2)

我们要求函数 $ y = (1 + x^2) \arctan x $ 的二阶导数 $ \frac{d^2 y}{dx^2} $。

第一步：求一阶导数

我们使用乘积法则对函数 $ y = (1 + x^2) \arctan x $ 求导：

设：

• $ u = 1 + x^2 $
• $ v = \arctan x $

则：

• $ u' = 2x $
• $ v' = \frac{1}{1 + x^2} $

根据乘积法则：
$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2x \arctan x + (1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2}$

注意：$ (1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2} = 1 $，所以：

$\frac{dy}{dx} = 2x \arctan x + 1$

第二步：求二阶导数

我们现在对一阶导数 $ \frac{dy}{dx} = 2x \arctan x + 1 $ 再次求导。

对 $ 2x \arctan x $ 使用乘积法则：

• 设 $ u = 2x $，$ v = \arctan x $
• $ u' = 2 $，$ v' = \frac{1}{1 + x^2} $

所以：
$\frac{d}{dx}(2x \arctan x) = 2 \arctan x + 2x \cdot \frac{1}{1 + x^2}$

对常数 $ 1 $ 求导为 0。

所以二阶导数为：
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \arctan x + \frac{2x}{1 + x^2}$

最终答案：

$\boxed{\frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \arctan x + \frac{2x}{1 + x^2}}$