函数 z = 3(x + y)- x^3 - y^3 的极小值点是 【 】. A. (1,1)B. (1, -1)C. (-1,1)D. (-1, -1)

为了找到函数 $ z = 3(x + y) - x^3 - y^3 $ 的极小值点，我们需要遵循以下步骤： 1. **找到一阶偏导数并设为零以找到临界点。** 函数 $ z $ 关于 $ x $ 的一阶偏导数为： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 - 3x^2 \] 函数 $ z $ 关于 $ y $ 的一阶偏导数为： \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 - 3y^2 \] 将这些偏导数设为零，我们得到： \[ 3 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] \[ 3 - 3y^2 = 0 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \] 因此，临界点为 $(1,1)$，$(1,-1)$，$(-1,1)$，和$(-1,-1)$。 2. **使用二阶导数测试确定这些临界点的性质。** 函数 $ z $ 的二阶偏导数为： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -6x, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -6y, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \] 二阶导数测试的判别式 $ D $ 由下式给出： \[ D = \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \right) \left( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \right) - \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right)^2 = (-6x)(-6y) - 0^2 = 36xy \] 现在，我们在每个临界点评估 $ D $ 和 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $： - 对于 $(1,1)$： \[ D = 36 \cdot 1 \cdot 1 = 36 > 0, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -6 \cdot 1 = -6 < 0 \] 由于 $ D > 0 $ 且 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0 $，$(1,1)$ 是局部极大值点。 - 对于 $(1,-1)$： \[ D = 36 \cdot 1 \cdot (-1) = -36 < 0 \] 由于 $ D < 0 $，$(1,-1)$ 是鞍点。 - 对于 $(-1,1)$： \[ D = 36 \cdot (-1) \cdot 1 = -36 < 0 \] 由于 $ D < 0 $，$(-1,1)$ 是鞍点。 - 对于 $(-1,-1)$： \[ D = 36 \cdot (-1) \cdot (-1) = 36 > 0, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -6 \cdot (-1) = 6 > 0 \] 由于 $ D > 0 $ 且 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 $，$(-1,-1)$ 是局部极小值点。 因此，函数 $ z = 3(x + y) - x^3 - y^3 $ 的极小值点是 $(-1,-1)$。 答案是：$\boxed{D}$。