题目
设f(x,y)= ^2+{y)^2},(x)^2+(y)^2neq 0 0,(x)^2+(y)^2=0 .在原点连续
设
,则下列说法正确的是( )
在原点有极限B. 函数
在原点无极限C. 函数
在原点不可导D. 函数
在原点连续题目解答
答案
B. 函数$(x')$在原点无极限
解析
步骤 1：分析函数在原点的极限
函数$f(x,y)$在原点$(0,0)$的极限需要通过路径来验证。如果沿着不同的路径，函数的极限值不同，则函数在原点没有极限。
步骤 2：验证不同路径下的极限
- 沿着$x$轴路径$(x,0)$，函数$f(x,0)=0$，极限为$0$。
- 沿着$y$轴路径$(0,y)$，函数$f(0,y)=0$，极限为$0$。
- 沿着直线$y=x$路径，函数$f(x,x)=\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac{1}{2}$，极限为$\dfrac{1}{2}$。
步骤 3：判断函数在原点的极限
由于沿着不同路径，函数$f(x,y)$在原点的极限值不同，因此函数在原点没有极限。
函数$f(x,y)$在原点$(0,0)$的极限需要通过路径来验证。如果沿着不同的路径，函数的极限值不同，则函数在原点没有极限。
步骤 2：验证不同路径下的极限
- 沿着$x$轴路径$(x,0)$，函数$f(x,0)=0$，极限为$0$。
- 沿着$y$轴路径$(0,y)$，函数$f(0,y)=0$，极限为$0$。
- 沿着直线$y=x$路径，函数$f(x,x)=\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac{1}{2}$，极限为$\dfrac{1}{2}$。
步骤 3：判断函数在原点的极限
由于沿着不同路径，函数$f(x,y)$在原点的极限值不同，因此函数在原点没有极限。