16.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB=sqrt(3)bcosA，c-2b=1，a=sqrt(7).(1)求A的值;(2)求c的值;(3)求sin(A+2B)的值.

为了解决给定的问题，我们将分步骤进行。 ### 第一步：求 $ A $ 的值 已知方程 $ a \sin B = \sqrt{3} b \cos A $，我们可以使用正弦定理，该定理表明 $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $。因此，我们可以将 $ b $ 表达为 $ b = \frac{a \sin B}{\sin A} $。将此代入给定的方程，我们得到： \[ a \sin B = \sqrt{3} \left( \frac{a \sin B}{\sin A} \right) \cos A \] 我们可以从两边消去 $ a \sin B $（假设 $ a \sin B \neq 0 $）： \[ 1 = \sqrt{3} \frac{\cos A}{\sin A} \] 这简化为： \[ 1 = \sqrt{3} \cot A \] 因此，我们有： \[ \cot A = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 这意味着： \[ \tan A = \sqrt{3} \] 在区间 $ (0, \pi) $ 中，满足此方程的角 $ A $ 是： \[ A = \frac{\pi}{3} \] ### 第二步：求 $ c $ 的值 现在我们知道 $ A = \frac{\pi}{3} $，我们可以使用余弦定理，该定理表明： \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] 将 $ a = \sqrt{7} $ 和 $ \cos A = \frac{1}{2} $ 代入，我们得到： \[ 7 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \frac{1}{2} \] 这简化为： \[ 7 = b^2 + c^2 - bc \] 我们还知道 $ c - 2b = 1 $，所以我们可以将 $ c $ 表达为 $ c = 2b + 1 $。将此代入方程，我们得到： \[ 7 = b^2 + (2b + 1)^2 - b(2b + 1) \] 展开并简化，我们得到： \[ 7 = b^2 + 4b^2 + 4b + 1 - 2b^2 - b \] \[ 7 = 3b^2 + 3b + 1 \] 从两边减去7，我们得到： \[ 0 = 3b^2 + 3b - 6 \] 将整个方程除以3，我们得到： \[ 0 = b^2 + b - 2 \] 对二次方程进行因式分解，我们得到： \[ 0 = (b + 2)(b - 1) \] 因此，解为 $ b = -2 $ 或 $ b = 1 $。由于 $ b $ 是边长，它必须是正数，所以 $ b = 1 $。将 $ b = 1 $ 代回方程 $ c = 2b + 1 $，我们得到： \[ c = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \] ### 第三步：求 $ \sin(A + 2B) $ 的值 首先，我们需要找到 $ \sin B $ 和 $ \cos B $。使用正弦定理： \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] 我们代入 $ a = \sqrt{7} $， $ A = \frac{\pi}{3} $，和 $ b = 1 $： \[ \frac{\sqrt{7}}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sin B} \] 由于 $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，我们得到： \[ \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sin B} \] \[ \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sin B} \] \[ \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14} \] 接下来，我们找到 $ \cos B $ 使用毕达哥拉斯恒等式 $ \cos^2 B + \sin^2 B = 1 $： \[ \cos^2 B + \left( \frac{\sqrt{21}}{14} \right)^2 = 1 \] \[ \cos^2 B + \frac{21}{196} = 1 \] \[ \cos^2 B + \frac{3}{28} = 1 \] \[ \cos^2 B = 1 - \frac{3}{28} \] \[ \cos^2 B = \frac{25}{28} \] \[ \cos B = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14} \] 现在，我们找到 $ \sin 2B $ 和 $ \cos 2B $： \[ \sin 2B = 2 \sin B \cos B = 2 \cdot \frac{\sqrt{21}}{14} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{14} = \frac{10\sqrt{147}}{196} = \frac{10 \cdot 7\sqrt{3}}{196} = \frac{5\sqrt{3}}{14} \] \[ \cos 2B = \cos^2 B - \sin^2 B = \left( \frac{5\sqrt{7}}{14} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{21}}{14} \right)^2 = \frac{25 \cdot 7}{196} - \frac{21}{196} = \frac{175}{196} - \frac{21}{196} = \frac{154}{196} = \frac{11}{14} \] 最后，我们找到 $ \sin(A + 2B) $： \[ \sin(A + 2B) = \sin A \cos 2B + \cos A \sin 2B \] 代入 $ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} $ 和 $ \cos A = \frac{1}{2} $： \[ \sin(A + 2B) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{11}{14} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{14} = \frac{11\sqrt{3}}{28} + \frac{5\sqrt{3}}{28} = \frac{16\sqrt{3}}{28} = \frac{4\sqrt{3}}{7} \] 因此， $ \sin(A + 2B) $ 的值是： \[ \boxed{\frac{4\sqrt{3}}{7}} \]