【例19】(2025-2)设矩阵A=(alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)).若alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，且alpha_(1)+alpha_(2)=alpha_(3)+alpha_(4)，则方程组AX=alpha_(1)+4alpha_(4)的通解为X=____.

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组的通解结构，涉及矩阵秩的确定、基础解系的求解以及特解的寻找。

解题核心思路：

1. 确定矩阵秩：由已知条件$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，且$\alpha_4$可由前三者线性表示，故矩阵$A$的秩为3。
2. 齐次方程组的基础解系：通过$\alpha_4$的表达式，构造齐次方程组$AX=0$的基础解系。
3. 非齐次方程组的特解：将$\alpha_4$代入方程组，转化为关于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合，求出特解。
4. 通解结构：特解与齐次解的线性组合。

破题关键点：

• 利用$\alpha_4$的表达式：将$\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$代入方程组，简化计算。
• 解空间的维数：矩阵秩为3，未知数个数为4，故齐次方程组解空间维数为1。

1. 确定矩阵$A$的秩

已知$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，且$\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$，说明$\alpha_4$可由前三列线性表示。因此，矩阵$A$的秩为3。

2. 求齐次方程组$AX=0$的基础解系

设解向量为$\eta = (k_1, k_2, k_3, k_4)^T$，则：
$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 = 0.$
代入$\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$，得：
$(k_1 + k_4)\alpha_1 + (k_2 + k_4)\alpha_2 + (k_3 - k_4)\alpha_3 = 0.$
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，故系数全为0：
$\begin{cases}k_1 + k_4 = 0, \\k_2 + k_4 = 0, \\k_3 - k_4 = 0.\end{cases}$
取$k_4 = 1$，得基础解系$\eta = (1, 1, -1, -1)^T$。

3. 求非齐次方程组的特解

方程组$AX = \alpha_1 + 4\alpha_4$，将$\alpha_4$代入右边：
$\alpha_1 + 4\alpha_4 = \alpha_1 + 4(\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3) = 5\alpha_1 + 4\alpha_2 - 4\alpha_3.$
设特解为$\xi = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$，则：
$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = 5\alpha_1 + 4\alpha_2 - 4\alpha_3.$
代入$\alpha_4$并整理得：
$(x_1 + x_4)\alpha_1 + (x_2 + x_4)\alpha_2 + (x_3 - x_4)\alpha_3 = 5\alpha_1 + 4\alpha_2 - 4\alpha_3.$
解得：
$\begin{cases}x_1 + x_4 = 5, \\x_2 + x_4 = 4, \\x_3 - x_4 = -4.\end{cases}$
取$x_4 = 0$，得特解$\xi = (5, 4, -4, 0)^T$。

4. 通解结构

通解为特解与齐次解的线性组合：
$X = \xi + k\eta = (5, 4, -4, 0)^T + k(1, 1, -1, -1)^T.$