二、拓展提升（本题共2小题）4.函数f(x)=lg(2mx^2-3x+4)的值域为R，则实数m的取值范围为____.

考查要点：本题主要考查对数型复合函数的值域问题，涉及二次函数的值域分析及分类讨论思想。

解题核心思路：
要使函数$f(x)=\lg(2mx^2-3x+4)$的值域为$\mathbb{R}$，必须保证其内部的二次函数$g(x)=2mx^2-3x+4$的值域包含所有正实数。需分二次项系数$m=0$、$m>0$、$m<0$三种情况讨论，结合二次函数的开口方向及顶点位置，确定$m$的取值范围。

破题关键点：

1. 当$m=0$时，二次函数退化为一次函数，需判断其值域是否覆盖所有正实数。
2. 当$m>0$时，开口向上，需保证二次函数的最小值$\leq0$，使其值域覆盖$[0,+\infty)$。
3. 当$m<0$时，开口向下，其值域无法覆盖所有正实数，直接排除。

情况1：$m=0$

此时$g(x)=-3x+4$为一次函数，值域为$\mathbb{R}$，能取到所有正实数，满足条件。

情况2：$m>0$

二次函数开口向上，顶点纵坐标为最小值：
$g\left(\frac{3}{4m}\right) = 4 - \frac{9}{8m}$
为使值域包含所有正实数，需最小值$\leq0$：
$4 - \frac{9}{8m} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad m \leq \frac{9}{32}$
因此，$0 < m \leq \frac{9}{32}$。

情况3：$m<0$

二次函数开口向下，值域为$(-\infty, 4 - \frac{9}{8m}]$，无法覆盖所有正实数，不满足条件。

综上，$m$的取值范围为$0 \leq m \leq \frac{9}{32}$。