已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩阵A=2βαT+7E，则矩阵A的最小特征值的特征向量是A. α．B. β．C. α+β．D. α-β．

考查要点：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量的性质，特别是秩1矩阵与标量矩阵组合后的特征值分析。

解题核心思路：

1. 矩阵分解：将矩阵$A$分解为秩1矩阵$2\beta\alpha^T$与标量矩阵$7E$的和。
2. 秩1矩阵特征值：秩1矩阵$\beta\alpha^T$的非零特征值为$\alpha^T\beta$，对应的特征向量为$\beta$。
3. 特征值平移：标量矩阵$7E$使所有特征值增加7，从而确定$A$的最小特征值及其对应的特征向量。

破题关键点：

• 秩1矩阵的特征向量：$\beta\alpha^T$的非零特征向量为$\beta$。
• 特征值的平移关系：$A$的最小特征值由秩1矩阵的非零特征值平移得到，对应特征向量仍为$\beta$。

矩阵分解与特征值分析

1. 分解矩阵$A$：
   $A = 2\beta\alpha^T + 7E$
   其中，$2\beta\alpha^T$是秩1矩阵，$7E$是标量矩阵。

2. 秩1矩阵$\beta\alpha^T$的特征值：

   • 非零特征值：$\alpha^T\beta = 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = -5$。
   • 对应特征向量：$\beta$（验证：$\beta\alpha^T \beta = \beta (\alpha^T\beta) = -5\beta$）。
   • 其他特征值：其余两个特征值为0，对应与$\beta$正交的向量。

3. 标量矩阵$7E$的作用：

   • 所有特征值增加7：
     • 原非零特征值$-5$变为$-5 \times 2 + 7 = -3$（注意$2\beta\alpha^T$的非零特征值为$2 \times (-5) = -10$，再加7得$-3$）。
     • 原0特征值变为7（二重特征值）。

4. 最小特征值：

   • $A$的特征值为$-3$和$7$，最小特征值为$-3$，对应特征向量为$\beta$。