(1)设A是任意n阶方阵,证明:-|||-1) +(A)^T 是对称矩阵, -(A)^T 是反对称矩阵;-|||-2)A可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和.

步骤 1：证明 $A+{A}^{T}$ 是对称矩阵
对任意矩阵 $A$，其转置矩阵 ${A}^{T}$ 的定义是将 $A$ 的行和列互换。因此，对于矩阵 $A+{A}^{T}$，我们有：
$${(A+{A}^{T})}^{T}={A}^{T}+{({A}^{T})}^{T}$$
由于转置的转置等于原矩阵，即 ${({A}^{T})}^{T}=A$，所以：
$${(A+{A}^{T})}^{T}={A}^{T}+A=A+{A}^{T}$$
因此，$A+{A}^{T}$ 是对称矩阵。

步骤 2：证明 $A-{A}^{T}$ 是反对称矩阵
对于矩阵 $A-{A}^{T}$，我们有：
$${(A-{A}^{T})}^{T}={A}^{T}-{({A}^{T})}^{T}$$
同样地，由于 ${({A}^{T})}^{T}=A$，所以：
$${(A-{A}^{T})}^{T}={A}^{T}-A=-(A-{A}^{T})$$
因此，$A-{A}^{T}$ 是反对称矩阵。

步骤 3：证明 A 可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和
根据步骤 1 和步骤 2，我们有：
$$A=\dfrac {(A+{A}^{T})+(A-{A}^{T})}{2}$$
将上式展开，得到：
$$A=\dfrac {(A+{A}^{T})}{2}+\dfrac {(A-{A}^{T})}{2}$$
其中，$\dfrac {(A+{A}^{T})}{2}$ 是对称矩阵，$\dfrac {(A-{A}^{T})}{2}$ 是反对称矩阵。因此，A 可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和。