证明定理3.证明 3 mid n(n+1)(2n+1)，其中 n 是任意整数.

我们要证明：对于任意整数 $ n $，都有
$3 \mid n(n+1)(2n+1)$
即：$ n(n+1)(2n+1) $ 能被 3 整除。

解题思路：

要证明一个表达式能被 3 整除，可以考虑模 3 的余数。由于任何整数 $ n $ 除以 3 的余数只能是 0、1 或 2，我们可以对 $ n $ 按模 3 分类讨论，即考虑 $ n \equiv 0, 1, 2 \pmod{3} $ 三种情况。只要在这三种情况下，表达式 $ n(n+1)(2n+1) \equiv 0 \pmod{3} $，命题就得证。

证明过程：

我们分三种情况讨论：

情况 1：$ n \equiv 0 \pmod{3} $

即 $ n $ 能被 3 整除。

那么显然 $ n $ 是 3 的倍数，所以乘积
$n(n+1)(2n+1)$
中有一个因子是 3 的倍数，因此整个乘积能被 3 整除。

即：
$n(n+1)(2n+1) \equiv 0 \pmod{3}$

成立。

情况 2：$ n \equiv 1 \pmod{3} $

则：

• $ n \equiv 1 \pmod{3} $
• $ n+1 \equiv 2 \pmod{3} $
• $ 2n+1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \equiv 0 \pmod{3} $

所以 $ 2n+1 $ 能被 3 整除。

因此乘积中有一个因子 $ 2n+1 \equiv 0 \pmod{3} $，整个乘积能被 3 整除。

即：
$n(n+1)(2n+1) \equiv 0 \pmod{3}$

成立。

情况 3：$ n \equiv 2 \pmod{3} $

则：

• $ n \equiv 2 \pmod{3} $
• $ n+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} $
• 所以 $ n+1 $ 能被 3 整除。

因此乘积中 $ n+1 $ 是 3 的倍数，整个乘积能被 3 整除。

即：
$n(n+1)(2n+1) \equiv 0 \pmod{3}$

成立。

结论：

无论 $ n \equiv 0, 1, 2 \pmod{3} $ 哪一种情况，乘积 $ n(n+1)(2n+1) $ 总有一个因子能被 3 整除。

因此，对任意整数 $ n $，都有：
$3 \mid n(n+1)(2n+1)$

证毕。

答案：

$\boxed{3 \mid n(n+1)(2n+1) \quad \text{对任意整数 } n \text{ 成立}}$