[题目]设 f(x)= ) a(x)^2+bsin x+c,xleqslant 0 ln (1+x),xgt 0 . 问a,b,c,-|||-为何值时,f(x)在 x=0 处一阶导数连续,但二阶导-|||-数不存在?

步骤 1：确定函数在 x=0 处连续的条件
函数 $f(x)$ 在 x=0 处连续，需要满足 $f(0-0)=f(0+0)=f(0)$。根据题目中给出的函数定义，我们有：
- 当 $x\leqslant 0$ 时，$f(x)=a{x}^{2}+b\sin x+c$，因此 $f(0-0)=c$。
- 当 $x\gt 0$ 时，$f(x)=\ln (1+x)$，因此 $f(0+0)=\ln (1+0)=0$。
- $f(0)=c$。
所以，为了使函数在 x=0 处连续，需要 $c=0$。

步骤 2：确定函数在 x=0 处一阶导数连续的条件
函数 $f(x)$ 在 x=0 处一阶导数连续，需要满足 $f'(0-0)=f'(0+0)$。根据题目中给出的函数定义，我们有：
- 当 $x\leqslant 0$ 时，$f(x)=a{x}^{2}+b\sin x+c$，因此 $f'(x)=2ax+b\cos x$，所以 $f'(0-0)=b$。
- 当 $x\gt 0$ 时，$f(x)=\ln (1+x)$，因此 $f'(x)=\dfrac{1}{1+x}$，所以 $f'(0+0)=1$。
所以，为了使函数在 x=0 处一阶导数连续，需要 $b=1$。

步骤 3：确定函数在 x=0 处二阶导数不存在的条件
函数 $f(x)$ 在 x=0 处二阶导数不存在，需要满足 $f''(0-0)\neq f''(0+0)$。根据题目中给出的函数定义，我们有：
- 当 $x\leqslant 0$ 时，$f(x)=a{x}^{2}+b\sin x+c$，因此 $f''(x)=2a-b\sin x$，所以 $f''(0-0)=2a$。
- 当 $x\gt 0$ 时，$f(x)=\ln (1+x)$，因此 $f''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$，所以 $f''(0+0)=-1$。
所以，为了使函数在 x=0 处二阶导数不存在，需要 $2a\neq -1$，即 $a\neq -\dfrac{1}{2}$。