设线性方程组 ) (x)_(1)+2(x)_(3)=-1 -(x)_(1)+(x)_(2)-3(x)_(3)=2 2(x)_(1)-(x)_(2)+5(x)_(3)=0 .,求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并判断其解的情况.

考查要点：本题主要考查线性方程组的解的存在性判断，涉及系数矩阵和增广矩阵的秩的计算，以及利用秩的关系判断解的情况。

解题核心思路：

1. 构造系数矩阵和增广矩阵，通过行变换化为行阶梯形。
2. 比较系数矩阵和增广矩阵的秩：
   • 若秩相等且等于未知数个数，则有唯一解；
   • 若秩相等但小于未知数个数，则有无穷多解；
   • 若秩不相等，则方程组无解。

破题关键点：

• 正确进行行变换，确保矩阵化简正确。
• 准确判断非零行数量，确定秩的大小。

步骤1：构造系数矩阵和增广矩阵

系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\overline{A}$ 分别为：
$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\-1 & 1 & -3 \\2 & -1 & 5\end{pmatrix}, \quad\overline{A} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & -1 \\-1 & 1 & -3 & -2 \\2 & -1 & 5 & 0\end{pmatrix}$

步骤2：化简增广矩阵

1. 第一行消元：用第一行消去第二、第三行的第一个元素：

   • 第二行变为：$R2 + R1 \rightarrow [0, 1, -1, -3]$
   • 第三行变为：$R3 - 2R1 \rightarrow [0, -1, 1, 2]$
     $\overline{A} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2. 第二行消元：用第二行消去第三行的第二个元素：

   • 第三行变为：$R3 + R2 \rightarrow [0, 0, 0, -1]$
     $\overline{A} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

步骤3：确定秩

• 增广矩阵的行阶梯形有3个非零行，故 $\text{秩}(\overline{A}) = 3$。
• 系数矩阵的行阶梯形化简后为：
  $A \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
  故 $\text{秩}(A) = 2$。

步骤4：判断解的情况

由于 $\text{秩}(A) \neq \text{秩}(\overline{A})$，方程组无解。