题目
甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速地行驶到乙地.已知-|||-汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分与固定部分组成:-|||-可变部分与速度(单位为 km/h )的平方成正比,比例系数为b;固定-|||-部分为a元.试问为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量
设汽车行驶速度为 $x$ km/h，那么每小时的运输成本为 $b{x}^{2}+a$，其中 $b{x}^{2}$ 是可变部分，$a$ 是固定部分。
步骤 2：计算全程运输成本
汽车行驶 $s$ km 所需的时间为 $\dfrac{s}{x}$，从而全程运输成本为 $y=(b{x}^{2}+a)\dfrac{s}{x}=bsx+as\dfrac{1}{x}$。
步骤 3：求导数并求极值
对全程运输成本函数 $y=bsx+as\dfrac{1}{x}$ 求导，得到 $y'=bs-as\dfrac{1}{{x}^{2}}$。令 $y'=0$，解得驻点为 $x=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$。
步骤 4：验证极值点
由于驻点唯一，根据实际问题可知，该驻点一定是函数的最小值点，即所求速度为 $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ km/h。
设汽车行驶速度为 $x$ km/h，那么每小时的运输成本为 $b{x}^{2}+a$，其中 $b{x}^{2}$ 是可变部分，$a$ 是固定部分。
步骤 2：计算全程运输成本
汽车行驶 $s$ km 所需的时间为 $\dfrac{s}{x}$，从而全程运输成本为 $y=(b{x}^{2}+a)\dfrac{s}{x}=bsx+as\dfrac{1}{x}$。
步骤 3：求导数并求极值
对全程运输成本函数 $y=bsx+as\dfrac{1}{x}$ 求导，得到 $y'=bs-as\dfrac{1}{{x}^{2}}$。令 $y'=0$，解得驻点为 $x=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$。
步骤 4：验证极值点
由于驻点唯一，根据实际问题可知，该驻点一定是函数的最小值点，即所求速度为 $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ km/h。