答题卡上将所选项的字母标号涂黑） 【1】lim_(xtoinfty)[(x^2)/((x-a)(x+b))]^x=( ).A. e^a-bB. e^b-aC. e^(a)/(b)D. e^(-a)/(b)

本题考查无穷极限的求解，核心思路是将指数形式的极限转化为对数形式，利用泰勒展开或等价无穷小进行近似处理。关键在于：

1. 取自然对数简化指数运算；
2. 将分式变形为1 + 小量的形式，应用$\ln(1+y) \approx y$；
3. 通过极限运算化简表达式，最终还原指数。

步骤1：取自然对数

设原式为$f(x) = \left[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}\right]^{x}$，取对数得：
$\ln f(x) = x \ln \left( \frac{x^2}{(x-a)(x+b)} \right).$

步骤2：化简分式

将分母展开并整理：
$\frac{x^2}{(x-a)(x+b)} = \frac{x^2}{x^2 + (b-a)x - ab} = \frac{1}{1 + \frac{(b-a)x - ab}{x^2}}.$

步骤3：泰勒展开近似

当$x \to \infty$时，$\frac{(b-a)x - ab}{x^2} \approx \frac{b-a}{x}$，利用$\ln(1+y) \approx y$：
$\ln f(x) \approx x \cdot \left( -\frac{(b-a)x - ab}{x^2} \right) = -x \cdot \left( \frac{b-a}{x} - \frac{ab}{x^2} \right).$

步骤4：化简极限

展开后保留主部：
$\ln f(x) \approx -(b-a) + \frac{ab}{x}.$
当$x \to \infty$时，$\frac{ab}{x} \to 0$，故：
$\lim_{x \to \infty} \ln f(x) = -(b-a) = a - b.$

步骤5：还原指数

最终结果为：
$\lim_{x \to \infty} f(x) = e^{a - b}.$