题目
5.设随机变量X的分布律为PX=k=a(lambda^k)/(k!)(k=0,1,2,...),lambdageqslant0为常数，试确定a=_____.
5.设随机变量X的分布律为$P\{X=k\}=a\frac{\lambda^{k}}{k!}(k=0,1,2,\cdots),\lambda\geqslant0$为常数，试确定a=_____.
题目解答
答案
根据概率分布的性质，所有可能取值的概率之和等于1。因此，有：
\[
\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} = 1
\]
提取常数 $a$：
\[
a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = 1
\]
利用指数函数的泰勒展开式 $e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$，得：
\[
a e^{\lambda} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = e^{-\lambda}
\]
**答案：** $\boxed{e^{-\lambda}}$
解析
考查要点：本题主要考查概率分布的归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。同时需要利用指数函数的泰勒展开式进行求和化简。
解题核心思路：
根据概率分布的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1。通过将求和式与指数函数的展开式联系起来，即可解出归一化常数$a$。
破题关键点：
- 写出概率和为1的方程；
- 识别求和式$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$对应$e^{\lambda}$的展开式；
- 解方程求$a$。
根据概率分布的归一性，所有可能取值的概率之和等于1：
$\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} = 1$
将常数$a$提取到求和符号外：
$a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = 1$
利用指数函数的泰勒展开式$e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$，代入得：
$a e^{\lambda} = 1$
解得：
$a = e^{-\lambda}$