8、判断题(0.5分) 1-cosx与(x^2)/(2)等价A. 正确B. 错误

本题考查等价无穷小的概念及判断方法。。解题思路是根据等价无穷小的定义，判断当$某个变量)趋于某个值时，两个函数的比值的极限是否为1。若极限为1，则这两个函数是等价无穷小；若极限不为1，则不是等价无穷小。本题中是判断当\(x\to0$时，$1 - \cos x$与$\frac{x^{2}}{2}$是否为为等价无穷小，所以需要计算$\lim\limits_{x\toto0}\frac{1 - - \cos x}{\frac{x^{2}}{2}}$的值。

1. 首先，根据三角函数的二倍角公式$\cos x = 1 - 2\sin^{2}\frac{x}{2}$，将$1 - \cos x$进行变形：
   • $1 - \cos x = 1-(1 - 2\sin^{2}\frac{x}{2})=2\sin^{2}\frac{x}{2}$。
2. 然后，将变形后的式子代入极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{\frac{x^{2}}{2}}$中：
   • $\lim\limits_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{\frac{x^{2}}{2}}$。
3. 接着，对式子进行化简：
   • $\(\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^{2}}$。
4. 再根据重要极限$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t}{t} = 1$，令$t=\frac{x}{2}$，当$x\to0$时，$t\to0$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = 1$。
   • 所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^{2}}=\left(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2}=1^{2}=1$。
5. 最后，根据等价无穷小的定义，当$\lim\limits_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{\frac{x}^{2}}{2}=1$时，$1 - \cos x$与\(\frac{x^{2}}{2}\主要主要考查等价无穷小的判断，解题关键在于利用等价无穷小的定义，通过计算极限来确定两个函数是否等价。 1. 利用三角函数公式变形： - 由$\cos x = 1 - 2\sin^{2}\frac{x}{2}$，可得$1 - \cos x = 2\sin^{2}\frac{x}{2}$。
6. 计算极限：
   计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{\frac{x^{2}}{2}}$。
   • 进一步化简为$\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^{2}}$。
   • 根据重要极限$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t}{t} = 1$，令$t = \frac{x}{2}$，当$x\to0$时，$t\to0$，则$\lim_{x\to0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = 1$。
   • 所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^{2}}=\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2}=1^{2}=1$。
7. 根据等价无穷小判断：
   • 因为$\lim\limits_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{\frac{x^{2}}{2}} = 1$，根据等价无穷小的定义，当$x\to0$时，$1 - \cosx$与$\frac{x^{2}}{2}$是等价无穷小。