题目
填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。39.（2.0分）曲线(y=frac(x+1)/(x-2)){}的水平渐近线为（），铅垂渐近线为（）.
填空题（共15题，30.0分）
题型说明：共15题，每题2分。
39.（2.0分）曲线$\frac{y=\frac{x+1}{x-2}}{}$的水平渐近线为（），
铅垂渐近线为（）.
题目解答
答案
将函数 $ y = \frac{x+1}{x-2} $ 进行分离常数：
\[
y = 1 + \frac{3}{x-2}
\]
当 $ x \to \infty $ 时，$\frac{3}{x-2} \to 0$，故水平渐近线为 $ y = 1 $。
分母为零时 $ x-2 = 0 $，解得 $ x = 2 $，此时函数趋向于无穷大，故铅垂渐近线为 $ x = 2 $。
**答案：**
水平渐近线：$ y = 1 $
铅垂渐近线：$ x = 2 $
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
\text{水平渐近线：} & y = 1 \\
\text{铅垂渐近线：} & x = 2 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查分式函数的水平渐近线和铅垂渐近线的求解方法。
解题思路：
- 铅垂渐近线：找到分母为零且分子不为零的点，即解方程 $x-2=0$，得 $x=2$。
- 水平渐近线：当分子和分母的次数相同时，水平渐近线为分子分母最高次项系数之比。本题中，分子和分母均为一次项，系数均为1，因此水平渐近线为 $y=1$。也可通过分离常数法验证。
关键点：
- 铅垂渐近线由分母为零的位置确定。
- 水平渐近线可通过分离常数或直接比较分子分母次数求解。
铅垂渐近线
- 分母为零的点：令分母 $x-2=0$，解得 $x=2$。
- 验证分子是否为零：当 $x=2$ 时，分子 $x+1=3 \neq 0$，因此 $x=2$ 是铅垂渐近线。
水平渐近线
- 分离常数法：将函数变形为：
$y = \frac{x+1}{x-2} = \frac{(x-2)+3}{x-2} = 1 + \frac{3}{x-2}$ - 极限分析：当 $x \to \infty$ 时，$\frac{3}{x-2} \to 0$，因此 $y \to 1$，水平渐近线为 $y=1$。