题目
[2018年] 曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是________.
[2018年] 曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是________.
题目解答
答案
正确答案:y=4x-3解析:由题可知, 令解得x=1,所以曲线的拐点为(1,1). 又因y’(1)=4即为切线斜率,所以切线方程为 y=4x-3. 知识模块:一元函数微分学
解析
步骤 1：求二阶导数
首先，我们需要求出给定函数的二阶导数。给定函数为 y = x^2 + 2lnx，我们先求一阶导数 y' = 2x + 2/x，然后求二阶导数 y'' = 2 - 2/x^2。
步骤 2：确定拐点
拐点是二阶导数等于零的点。因此，我们令 y'' = 0，即 2 - 2/x^2 = 0，解得 x = 1。所以，拐点为 x = 1。
步骤 3：求切线方程
在拐点处，我们需要求出切线方程。切线方程的一般形式为 y - y1 = m(x - x1)，其中 m 是切线的斜率，(x1, y1) 是切点的坐标。在拐点 x = 1 处，y = 1^2 + 2ln1 = 1，所以切点为 (1, 1)。切线的斜率 m 是一阶导数在 x = 1 处的值，即 m = y'(1) = 2*1 + 2/1 = 4。因此，切线方程为 y - 1 = 4(x - 1)，即 y = 4x - 3。
首先，我们需要求出给定函数的二阶导数。给定函数为 y = x^2 + 2lnx，我们先求一阶导数 y' = 2x + 2/x，然后求二阶导数 y'' = 2 - 2/x^2。
步骤 2：确定拐点
拐点是二阶导数等于零的点。因此，我们令 y'' = 0，即 2 - 2/x^2 = 0，解得 x = 1。所以，拐点为 x = 1。
步骤 3：求切线方程
在拐点处，我们需要求出切线方程。切线方程的一般形式为 y - y1 = m(x - x1)，其中 m 是切线的斜率，(x1, y1) 是切点的坐标。在拐点 x = 1 处，y = 1^2 + 2ln1 = 1，所以切点为 (1, 1)。切线的斜率 m 是一阶导数在 x = 1 处的值，即 m = y'(1) = 2*1 + 2/1 = 4。因此，切线方程为 y - 1 = 4(x - 1)，即 y = 4x - 3。