题目
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC=90°．爸爸在C处接住小丽时，求小丽距离地面的高度，并说明理由．0-|||-E ---- C-|||-B 口 D-|||-A
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC=90°．爸爸在C处接住小丽时，求小丽距离地面的高度，并说明理由．
题目解答
答案
解：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的，理由如下：
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°．
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，
$\left\{\begin{array}{c}∠COE=∠OBD\\∠CEO=∠ODB，\\ OC=OB\end{array}\right.$
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE=OD，OE=BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4（m），
∵AD=1m，
∴AE=AD+DE=1.4（m），
∴爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°．
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，
$\left\{\begin{array}{c}∠COE=∠OBD\\∠CEO=∠ODB，\\ OC=OB\end{array}\right.$
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE=OD，OE=BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4（m），
∵AD=1m，
∴AE=AD+DE=1.4（m），
∴爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
解析
考查要点：本题主要考查几何变换中的全等三角形判定与性质，以及勾股定理的应用。关键在于通过几何关系建立全等三角形，进而求解高度。
解题思路：
- 几何建模：将秋千摆动轨迹抽象为圆弧，OB和OC为半径，利用水平距离BD、CE构建直角三角形。
- 全等三角形判定：通过角度关系和边角关系，证明△COE≌△OBD（AAS），得到对应边相等。
- 线段长度计算：通过全等三角形对应边关系，结合已知水平距离，计算关键线段长度，最终求出高度。
破题关键：
- 识别垂直关系：BD、CE为水平距离，与OA垂直，形成直角三角形。
- 利用角度关系：由∠BOC=90°推导角度相等，为全等三角形创造条件。
- 线段叠加：通过AD和DE的叠加关系，得到最终高度。
几何关系分析
- 垂直关系：BD、CE为水平距离，故∠BDO=∠CEO=90°。
- 半径相等：秋千绳长固定，故OB=OC。
- 角度关系：由∠BOC=90°，推导∠COE=∠OBD。
全等三角形证明
在△COE和△OBD中：
- 角-角-边：
- ∠COE=∠OBD（由角度关系推导）
- ∠CEO=∠ODB=90°（垂直关系）
- OC=OB（秋千绳长相同）
- 结论：△COE≌△OBD（AAS）
线段长度计算
- 对应边相等：CE=OD，OE=BD。
- 计算DE：
$DE = OD - OE = CE - BD = 1.8\,\text{m} - 1.4\,\text{m} = 0.4\,\text{m}$ - 叠加高度：
$AE = AD + DE = 1\,\text{m} + 0.4\,\text{m} = 1.4\,\text{m}$