设函数 z=3x^2+3y^2-x^3 在区域 D: x^2+y^2 leq 16 上定义，则下列说法不正确的是(）。A. 函数 z=3x^2+3y^2-x^3 在区域 D 内有两驻点 P_1(0,0), P_2(2,0)B. 函数 z=3x^2+3y^2-x^3 在边界 x^2+y^2=16 上的极值可转化为一元函数 z=48-x^3(|x|leq4) 的最值C. 函数在区域 D 上有最大值 4D. 函数在区域 D 上有最小值 -16

考查要点：本题主要考查多元函数在有界闭区域上的极值求解，涉及内部驻点和边界极值的分析，以及选项的逻辑判断。

解题核心思路：

1. 内部驻点：通过求偏导数找到驻点，并验证是否在区域内。
2. 边界极值：利用约束条件将边界上的函数转化为一元函数，分析其极值。
3. 综合比较：将内部驻点和边界极值的结果综合，确定整体最大值和最小值。

破题关键点：

• 驻点计算：正确求解偏导数并解方程组。
• 边界转化：将边界条件代入原函数，简化为一元函数分析。
• 极值比较：全面比较内部和边界的所有可能极值点，避免遗漏。

选项A：驻点分析

1. 求偏导数：
   • $z_x = 6x - 3x^2$
   • $z_y = 6y$
2. 解方程组：
   • $z_x = 0 \Rightarrow x(6 - 3x) = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 2$
   • $z_y = 0 \Rightarrow y = 0$
   • 驻点为 $P_1(0,0)$ 和 $P_2(2,0)$，均在区域 $D$ 内。
     结论：选项A正确。

选项B：边界极值转化

1. 代入边界条件：
   • 在边界 $x^2 + y^2 = 16$ 上，$y^2 = 16 - x^2$。
   • 原函数变为 $z = 3x^2 + 3(16 - x^2) - x^3 = 48 - x^3$。
2. 分析一元函数：
   • 定义域 $x \in [-4, 4]$，求导得 $z' = -3x^2$，临界点 $x = 0$。
   • 端点值：$z(-4) = 112$，$z(4) = -16$；临界点值 $z(0) = 48$。
     结论：选项B正确。

选项C、D：最值判断

1. 内部驻点值：
   • $z(0,0) = 0$，$z(2,0) = 4$。
2. 边界极值：
   • 最大值 $112$（在 $x = -4$），最小值 $-16$（在 $x = 4$）。
3. 综合比较：
   • 整体最大值为 $112$，最小值为 $-16$。
     结论：选项C错误，选项D正确。