题目

1.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格。据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试求（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

题目解答

答案

(1) \\frac{1}{37}(2)\\frac{4}{13}

解析

步骤 1：定义事件
设A为“学生努力学习”，B为“学生考试及格”。根据题意，有P(A) = 0.8，P(B|A) = 0.9，P(B|A^c) = 0.1，其中A^c表示“学生不努力学习”。

步骤 2：计算考试及格的概率
根据全概率公式，P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = 0.9 * 0.8 + 0.1 * 0.2 = 0.72 + 0.02 = 0.74。

步骤 3：计算考试及格的学生中不努力学习的概率
根据贝叶斯公式，P(A^c|B) = P(B|A^c)P(A^c) / P(B) = 0.1 * 0.2 / 0.74 = 0.02 / 0.74 = 1/37。

步骤 4：计算考试不及格的概率
P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.74 = 0.26，其中B^c表示“学生考试不及格”。

步骤 5：计算考试不及格的学生中努力学习的概率
根据贝叶斯公式，P(A|B^c) = P(B^c|A)P(A) / P(B^c) = 0.1 * 0.8 / 0.26 = 0.08 / 0.26 = 4/13。