10.设n维向量 =(a,0,... ,0,a)T lt 0, E是n阶单位矩阵,矩阵 =E-a(a)^T =E+-|||-dfrac (1)(a)(a)^7, 其中A的逆矩阵为B,则 a= __ _.

步骤 1：计算 $A$ 和 $B$ 的乘积
由于A的逆矩阵为B，故有 $AB=(E-a{a}^{T})(E+\dfrac {1}{a}a{a}^{T})$ 。
步骤 2：展开乘积
$AB = E - a{a}^{T} + \dfrac{1}{a}a{a}^{T} - \dfrac{1}{a}a({a}^{T}a){a}^{T}$ 。
步骤 3：简化表达式
由于 ${a}^{T}a = 2a^2$ ，代入上式得 $AB = E - a{a}^{T} + \dfrac{1}{a}a{a}^{T} - 2a{a}^{T}$ 。
步骤 4：合并同类项
$AB = E + (-1 - 2a + \dfrac{1}{a})a{a}^{T}$ 。
步骤 5：利用 $AB = E$ 得到方程
由于 $AB = E$ ，则有 $-1 - 2a + \dfrac{1}{a} = 0$ 。
步骤 6：解方程
解方程 $-1 - 2a + \dfrac{1}{a} = 0$ 得到 $a = \dfrac{1}{2}$ 或 $a = -1$ 。
步骤 7：根据条件 $a < 0$ 确定解
由于 $a < 0$ ，故 $a = -1$ 。