15.（2.0分）用泰勒公式求f(x)=1/(1+x)在x=0处的极值时，需展开到（） A. 一次项 B. 二次项 C. 三次项 D. 四次项

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式判断函数极值的能力，关键在于理解泰勒展开与导数的关系，以及极值存在的必要条件。

解题核心思路：

1. 极值的必要条件：若函数在某点处可导且该点为极值点，则一阶导数在该点处必为零。因此，若一阶导数不为零，则该点不可能是极值点。
2. 泰勒展开的作用：通过展开泰勒多项式，可以直接观察各阶导数的值。只需展开到一次项即可判断一阶导数是否为零，从而确定是否存在极值。

破题关键点：

• 计算一阶导数，若其在$x=0$处不为零，则无需更高次项即可排除极值存在性。

1. 求一阶导数：
   $f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$
   在$x=0$处，$f'(0) = -1 \neq 0$。
   结论：由于一阶导数不为零，$x=0$处不是极值点。

2. 泰勒展开到一次项：
   $f(x) \approx f(0) + f'(0)x = 1 - x$
   一次项系数为负，说明函数在$x=0$附近随$x$增大而减小，随$x$减小而增大，进一步验证无极值。

关键结论：只需展开到一次项即可判断极值不存在。