[题目]设 lambda =2 是非奇异矩阵A的一个特征值,则-|||-矩阵 ((dfrac {1)(3)(A)^2)}^-1 有一特征值等于 ()-|||-A. dfrac (4)(3)-|||-B. dfrac (3)(4)-|||-C. dfrac (1)(2)-|||-D. dfrac (1)(4)

考查要点：本题主要考查矩阵特征值的性质，特别是矩阵运算（如标量乘法、平方、逆矩阵）对特征值的影响。

解题核心思路：

1. 已知矩阵A的特征值λ，求A²的特征值：若λ是A的特征值，则A²的特征值为λ²。
2. 标量乘法对特征值的影响：若矩阵乘以标量k，则特征值也乘以k。
3. 逆矩阵的特征值：若矩阵可逆，则其逆矩阵的特征值是原特征值的倒数。

破题关键点：

• 正确应用特征值运算规则，注意运算顺序（如平方、标量乘法、取逆）。
• 代入已知特征值，逐步计算目标矩阵的特征值。

步骤1：计算A²的特征值

已知矩阵A的特征值为$\lambda = \frac{5}{2}$，则A²的特征值为：
$\lambda^2 = \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}.$

步骤2：计算$\frac{1}{3}A^2$的特征值

将A²的特征值乘以$\frac{1}{3}$：
$\frac{1}{3} \cdot \frac{25}{4} = \frac{25}{12}.$

步骤3：计算$\left( \frac{1}{3}A^2 \right)^{-1}$的特征值

逆矩阵的特征值是原特征值的倒数：
$\frac{1}{\frac{25}{12}} = \frac{12}{25}.$

矛盾分析：
根据上述计算，$\left( \frac{1}{3}A^2 \right)^{-1}$的特征值应为$\frac{12}{25}$，但选项中无此答案。
关键修正：
题目解析中隐含$\lambda = 2$（而非$\frac{5}{2}$），此时：

1. A²的特征值为$2^2 = 4$；
2. $\frac{1}{3}A^2$的特征值为$\frac{4}{3}$；
3. 逆矩阵的特征值为$\frac{3}{4}$，对应选项B。