题目

设A,B,C是任意三个随机事件，下列命题中成立的是()。 A 若A(overline(Boverline{C)})=(Aoverline(B))cup C，则A=B B 若AB=phi,Csubset A，则BC=phi C 若(Acup B)overline(B)=A，则A=B D (Aoverline(B))cup B=A

设$A,B,C$是任意三个随机事件，下列命题中成立的是()。

A 若$A(\overline{B\overline{C}})=(A\overline{B})\cup C$，则$A=B$

B 若$AB=\phi,C\subset A$，则$BC=\phi$

C 若$(A\cup B)\overline{B}=A$，则$A=B$

D $(A\overline{B})\cup B=A$

题目解答

答案

为了确定哪个命题是成立的，我们需要逐步分析每个选项。 **选项A: 若 $ A(\overline{BC}) = (A\overline{B}) \cup C $，则 $ A = B $** 首先，让我们分析等式 $ A(\overline{BC}) = (A\overline{B}) \cup C $。左边 $ A(\overline{BC}) $ 意味着 $ A $ 与 $ B $ 和 $ C $ 的交集的补集的交集。右边 $ (A\overline{B}) \cup C $ 意味着 $ A $ 与 $ B $ 的补集的交集与 $ C $ 的并集。 这个等式并不一定意味着 $ A = B $。例如，如果 $ A = \{1, 2, 3\} $， $ B = \{2, 3\} $，和 $ C = \{3\} $，那么： \[ A(\overline{BC}) = A(\overline{\{3\}}) = A \cap \{1, 2, 4, 5, \ldots\} = \{1, 2\} \] \[ (A\overline{B}) \cup C = (\{1, 2, 3\} \cap \{1\}) \cup \{3\} = \{1\} \cup \{3\} = \{1, 3\} \] 由于 $ \{1, 2\} \neq \{1, 3\} $，这个等式不成立，因此 $ A = B $ 并不一定是真的。所以，选项A是不正确的。 **选项B: 若 $ AB = \phi $ 和 $ C \subset A $，则 $ BC = \phi $** 如果 $ AB = \phi $，这意味着 $ A $ 和 $ B $ 是互斥的事件。如果 $ C \subset A $，那么 $ C $ 也是 $ A $ 的子集，因此 $ C $ 和 $ B $ 也必须是互斥的。因此， $ BC = \phi $。所以，选项B是正确的。 **选项C: 若 $ (A \cup B)\overline{B} = A $，则 $ A = B $** 首先，让我们分析等式 $ (A \cup B)\overline{B} = A $。左边 $ (A \cup B)\overline{B} $ 意味着 $ A $ 和 $ B $ 的并集与 $ B $ 的补集的交集。这简化为 $ A \cap \overline{B} $（因为 $ B \cap \overline{B} = \phi $）。 所以，等式变为 $ A \cap \overline{B} = A $。这意味着 $ A $ 是 $ \overline{B} $ 的子集，或者等价地， $ A \cap B = \phi $。这并不一定意味着 $ A = B $。所以，选项C是不正确的。 **选项D: $ (A \overline{B}) \cup B = A $** 首先，让我们分析等式 $ (A \overline{B}) \cup B = A $。左边 $ (A \overline{B}) \cup B $ 意味着 $ A $ 与 $ B $ 的补集的交集与 $ B $ 的并集。这简化为 $ A \cup B $（因为 $ A \overline{B} $ 是 $ A $ 的子集， $ A $ 与 $ B $ 的并集包括 $ A $ 和 $ B $）。 所以，等式变为 $ A \cup B = A $。这意味着 $ B $ 是 $ A $ 的子集，但并不一定意味着 $ A = B $。所以，选项D是不正确的。 因此，正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

本题考查事件运算的基本性质及逻辑推理能力。需逐一分析各选项中命题的成立性，关键在于：

  1. 事件运算的分配律、结合律及德摩根律的应用；
  2. 集合包含关系的推导；
  3. 反例法的运用（通过构造反例排除错误选项）。

核心思路：对每个选项，通过代数变形或举例验证命题是否必然成立。

选项A分析

命题：若 $A \cap \overline{B \cup C} = (A \cap \overline{B}) \cup C$，则 $A = B$。

关键步骤：

  1. 代数变形：左边为 $A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})$，右边为 $(A \cap \overline{B}) \cup C$。
  2. 构造反例：设 $A = \{1,2,3\}$，$B = \{2,3\}$，$C = \{3\}$，则：
    • 左边：$A \cap \overline{B \cup C} = \{1,2\}$；
    • 右边：$(A \cap \overline{B}) \cup C = \{1\} \cup \{3\} = \{1,3\}$；
    • 显然 $\{1,2\} \neq \{1,3\}$，等式不成立，故 $A \neq B$。
      结论：选项A不成立。

选项B分析

命题：若 $A \cap B = \varnothing$ 且 $C \subset A$，则 $B \cap C = \varnothing$。

关键步骤：

  1. 集合包含关系：由 $C \subset A$，得 $C \cap B \subset A \cap B$。
  2. 已知条件：$A \cap B = \varnothing$，故 $C \cap B = \varnothing$。
    结论：选项B成立。

选项C分析

命题：若 $(A \cup B) \cap \overline{B} = A$，则 $A = B$。

关键步骤：

  1. 化简左边：$(A \cup B) \cap \overline{B} = A \cap \overline{B}$（因 $B \cap \overline{B} = \varnothing$）。
  2. 等式变形：$A \cap \overline{B} = A$，说明 $A \subset \overline{B}$，即 $A \cap B = \varnothing$。
  3. 反例：设 $A = \{1\}$，$B = \{2\}$，满足 $A \cap B = \varnothing$，但 $A \neq B$。
    结论：选项C不成立。

选项D分析

命题：$(A \cap \overline{B}) \cup B = A$。

关键步骤：

  1. 化简左边：$(A \cap \overline{B}) \cup B = A \cup B$（因 $B \subset (A \cup B)$）。
  2. 等式要求：$A \cup B = A$，即 $B \subset A$。
  3. 反例：设 $A = \{1\}$，$B = \{2\}$，则左边为 $\{1,2\} \neq A$。
    结论：选项D不成立。