题目
设数列(an)满足a1=3，an+1=3an-4n．（1）计算a2，a3，猜想(an)的通项公式并加以证明；（2）求数列(2nan)的前n项和Sn．
设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
题目解答
答案
解：（1）法一：数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n，
则a2=3a1-4=5，a3=3a2-4×2=7，…，
猜想{an}的通项公式为an=2n+1．
证明如下：（i）当n=1，2，3时，显然成立，
（ii）假设n=k时，ak=2k+1（k∈N+）成立，
当n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3（k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1，故n=k+1时成立，
由（i）（ii）知，an=2n+1，猜想成立，
所以{an}的通项公式an=2n+1．
法二：数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n，
则a2=3a1-4=5，a3=3a2-4×2=7，…，
猜想{an}的通项公式为an=2n+1．
证明：设an+1+α（n+1）+β=3（an+αn+β），
可得an+1=3an+2αn+2β-α，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2α=-4}\\{2β-α=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{α=-2}\\{β=-1}\end{array}\right.$，
∴an+1-2（n+1）-1=3（an-2n-1），（不能说明{an-2n-1}是等比数列）
∵a1=3，a1-2×1-1=0，并且a2-2（2+1）-1=0，所以an=2n+1恒成立．
所以an=2n+1．
（2）令bn=2nan=（2n+1）•2n，则数列{2nan}的前n项和
Sn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①
两边同乘2得，2Sn=3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②
①-②得，-Sn=3×2+2×22+…+2×2n-（2n+1）2n+1
=6+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）2n+1，
所以Sn=（2n-1）2n+1+2．
则a2=3a1-4=5，a3=3a2-4×2=7，…，
猜想{an}的通项公式为an=2n+1．
证明如下：（i）当n=1，2，3时，显然成立，
（ii）假设n=k时，ak=2k+1（k∈N+）成立，
当n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3（k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1，故n=k+1时成立，
由（i）（ii）知，an=2n+1，猜想成立，
所以{an}的通项公式an=2n+1．
法二：数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n，
则a2=3a1-4=5，a3=3a2-4×2=7，…，
猜想{an}的通项公式为an=2n+1．
证明：设an+1+α（n+1）+β=3（an+αn+β），
可得an+1=3an+2αn+2β-α，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2α=-4}\\{2β-α=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{α=-2}\\{β=-1}\end{array}\right.$，
∴an+1-2（n+1）-1=3（an-2n-1），（不能说明{an-2n-1}是等比数列）
∵a1=3，a1-2×1-1=0，并且a2-2（2+1）-1=0，所以an=2n+1恒成立．
所以an=2n+1．
（2）令bn=2nan=（2n+1）•2n，则数列{2nan}的前n项和
Sn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①
两边同乘2得，2Sn=3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②
①-②得，-Sn=3×2+2×22+…+2×2n-（2n+1）2n+1
=6+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）2n+1，
所以Sn=（2n-1）2n+1+2．
解析
步骤 1：计算a_2，a_3
根据题目给出的递推公式a_{n+1} = 3a_n - 4n，我们可以计算出a_2和a_3的值。
a_2 = 3a_1 - 4*1 = 3*3 - 4 = 5
a_3 = 3a_2 - 4*2 = 3*5 - 8 = 7
步骤 2：猜想{a_n}的通项公式
观察a_1=3，a_2=5，a_3=7，可以猜想数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1。
步骤 3：证明猜想
使用数学归纳法证明a_n = 2n + 1。
（i）当n=1时，a_1 = 3 = 2*1 + 1，猜想成立。
（ii）假设当n=k时，a_k = 2k + 1成立，那么当n=k+1时，a_{k+1} = 3a_k - 4k = 3(2k + 1) - 4k = 6k + 3 - 4k = 2k + 3 = 2(k+1) + 1，猜想也成立。
因此，根据数学归纳法，猜想成立，即a_n = 2n + 1。
步骤 4：求数列{2^{n}a_n}的前n项和S_n
令b_n = 2^{n}a_n = (2n + 1)2^{n}，则数列{2^{n}a_n}的前n项和S_n = 3*2^{1} + 5*2^{2} + ... + (2n + 1)2^{n}。
步骤 5：求和S_n
S_n = 3*2^{1} + 5*2^{2} + ... + (2n + 1)2^{n}，...①
两边同乘2得，2S_n = 3*2^{2} + 5*2^{3} + ... + (2n + 1)2^{n+1}，...②
①-②得，-S_n = 3*2 + 2*2^{2} + ... + 2*2^{n} - (2n + 1)2^{n+1} = 6 + \frac{8(1-2^{n-1})}{1-2} - (2n + 1)2^{n+1} = 6 + 8(2^{n-1} - 1) - (2n + 1)2^{n+1} = 6 + 8*2^{n-1} - 8 - (2n + 1)2^{n+1} = 8*2^{n-1} - 2 - (2n + 1)2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - (2n + 1)2^{n+1} = -2n*2^{n+1} - 2^{n+1} - 2 = -2^{n+1}(2n + 1) - 2
所以S_n = 2^{n+1}(2n + 1) + 2。
根据题目给出的递推公式a_{n+1} = 3a_n - 4n，我们可以计算出a_2和a_3的值。
a_2 = 3a_1 - 4*1 = 3*3 - 4 = 5
a_3 = 3a_2 - 4*2 = 3*5 - 8 = 7
步骤 2：猜想{a_n}的通项公式
观察a_1=3，a_2=5，a_3=7，可以猜想数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1。
步骤 3：证明猜想
使用数学归纳法证明a_n = 2n + 1。
（i）当n=1时，a_1 = 3 = 2*1 + 1，猜想成立。
（ii）假设当n=k时，a_k = 2k + 1成立，那么当n=k+1时，a_{k+1} = 3a_k - 4k = 3(2k + 1) - 4k = 6k + 3 - 4k = 2k + 3 = 2(k+1) + 1，猜想也成立。
因此，根据数学归纳法，猜想成立，即a_n = 2n + 1。
步骤 4：求数列{2^{n}a_n}的前n项和S_n
令b_n = 2^{n}a_n = (2n + 1)2^{n}，则数列{2^{n}a_n}的前n项和S_n = 3*2^{1} + 5*2^{2} + ... + (2n + 1)2^{n}。
步骤 5：求和S_n
S_n = 3*2^{1} + 5*2^{2} + ... + (2n + 1)2^{n}，...①
两边同乘2得，2S_n = 3*2^{2} + 5*2^{3} + ... + (2n + 1)2^{n+1}，...②
①-②得，-S_n = 3*2 + 2*2^{2} + ... + 2*2^{n} - (2n + 1)2^{n+1} = 6 + \frac{8(1-2^{n-1})}{1-2} - (2n + 1)2^{n+1} = 6 + 8(2^{n-1} - 1) - (2n + 1)2^{n+1} = 6 + 8*2^{n-1} - 8 - (2n + 1)2^{n+1} = 8*2^{n-1} - 2 - (2n + 1)2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - (2n + 1)2^{n+1} = -2n*2^{n+1} - 2^{n+1} - 2 = -2^{n+1}(2n + 1) - 2
所以S_n = 2^{n+1}(2n + 1) + 2。