7.已知 f(x^2-1) 的定义域为 [(3)/(2),3]，求 f(x) 的定义域.8.已知函数 f(x+1) 的定义域为 [-2,3)，求函数 f((1)/(x)+1) 的定义域.9.已知函数 f(x) 的定义域为 (0,1]，求函数 f(e^x) 的定义域.10.已知函数 f(x+1) 的定义域为 (-1,1]，求函数 f(arctan x) 的定义域.

我们来逐题分析并求解这些函数定义域的问题。这类问题的核心是理解函数的定义域如何随着变量替换而变化。 --- ### **第7题：** **题目：** 已知 $ f(x^2 - 1) $ 的定义域为 $ \left[\frac{3}{2}, 3\right] $，求 $ f(x) $ 的定义域。 --- **分析：** - 函数 $ f(x^2 - 1) $ 的定义域是 $ x \in \left[\frac{3}{2}, 3\right] $，表示在这个区间内，表达式 $ x^2 - 1 $ 是合法的，即它属于 $ f $ 的定义域。 - 所以我们先求出 $ x^2 - 1 $ 在这个区间上的取值范围，即： $$ x \in \left[\frac{3}{2}, 3\right] \Rightarrow x^2 \in \left[\left(\frac{3}{2}\right)^2, 3^2\right] = \left[\frac{9}{4}, 9\right] $$ $$ x^2 - 1 \in \left[\frac{9}{4} - 1, 9 - 1\right] = \left[\frac{5}{4}, 8\right] $$ - 因此，$ f(x) $ 的定义域必须包含区间 $ \left[\frac{5}{4}, 8\right] $，因为这是 $ x^2 - 1 $ 的取值范围。 **答：** $$ \boxed{f(x) \text{ 的定义域是 } \left[\frac{5}{4}, 8\right]} $$ --- ### **第8题：** **题目：** 已知函数 $ f(x+1) $ 的定义域为 $ [-2,3) $，求函数 $ f\left(\frac{1}{x} + 1\right) $ 的定义域。 --- **分析：** - 已知 $ f(x+1) $ 的定义域是 $ x \in [-2, 3) $，说明当 $ x+1 \in [-1, 4) $ 时，$ f(x+1) $ 有定义。 - 所以，$ f(x) $ 的定义域是 $ [-1, 4) $。 - 现在要求 $ f\left(\frac{1}{x} + 1\right) $ 的定义域，即： $$ \frac{1}{x} + 1 \in [-1, 4) $$ - 解这个不等式： $$ -1 \leq \frac{1}{x} + 1 < 4 \Rightarrow -2 \leq \frac{1}{x} < 3 $$ - 分情况讨论： - $ \frac{1}{x} \geq -2 \Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} $ 或 $ x > 0 $ - $ \frac{1}{x} < 3 \Rightarrow x > \frac{1}{3} $ 或 $ x < 0 $ - 合并两个条件： - 当 $ x > 0 $ 时，要同时满足 $ x > \frac{1}{3} $ - 当 $ x < 0 $ 时，要同时满足 $ x \leq -\frac{1}{2} $ - 所以定义域是： $$ x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \cup \left(\frac{1}{3}, \infty\right) $$ **答：** $$ \boxed{\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \cup \left(\frac{1}{3}, \infty\right)} $$ --- ### **第9题：** **题目：** 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ (0,1] $，求函数 $ f(e^x) $ 的定义域。 --- **分析：** - 要使 $ f(e^x) $ 有定义，必须满足 $ e^x \in (0,1] $ - 解这个不等式： $$ e^x \in (0,1] \Rightarrow x \in (-\infty, 0] $$ **答：** $$ \boxed{(-\infty, 0]} $$ --- ### **第10题：** **题目：** 已知函数 $ f(x+1) $ 的定义域为 $ (-1,1] $，求函数 $ f(\arctan x) $ 的定义域。 --- **分析：** - 已知 $ f(x+1) $ 的定义域是 $ x \in (-1,1] $，说明当 $ x+1 \in (0,2] $ 时，$ f(x+1) $ 有定义。 - 所以 $ f(x) $ 的定义域是 $ (0,2] $。 - 现在要求 $ f(\arctan x) $ 的定义域，即： $$ \arctan x \in (0,2] $$ - 注意： - $ \arctan x $ 的值域是 $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ - 所以 $ \arctan x \in (0,2] $ 的有效部分是 $ \arctan x \in (0, \min\left\{2, \frac{\pi}{2}\right\}) $ - 因为 $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 $，所以实际有效区间是 $ \arctan x \in (0, \frac{\pi}{2}) $ - 那么对应的 $ x $ 的取值范围是： $$ x \in (0, \infty) $$ **答：** $$ \boxed{(0, \infty)} $$ --- ### **总结答案：** 7. $ f(x) $ 的定义域是 $ \boxed{\left[\frac{5}{4}, 8\right]} $ 8. $ f\left(\frac{1}{x} + 1\right) $ 的定义域是 $ \boxed{\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \cup \left(\frac{1}{3}, \infty\right)} $ 9. $ f(e^x) $ 的定义域是 $ \boxed{(-\infty, 0]} $ 10. $ f(\arctan x) $ 的定义域是 $ \boxed{(0, \infty)} $