[题目]在 Delta ABC 中,顶点c在AB边上的射影为D,-|||-且 ^2=ADcdot DB, 求证: Delta ABC 是直角三角形

考查要点：本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，以及通过比例关系推导角度关系的能力。

解题核心思路：
题目中给出的条件是$CD^2 = AD \cdot DB$，结合$CD \perp AB$，可以构造相似三角形。通过比例关系和直角条件，证明$\angle ACB = 90^\circ$，从而得出$\Delta ABC$为直角三角形。

破题关键点：

1. 识别相似三角形：利用$CD^2 = AD \cdot DB$变形为比例式，结合直角条件，判定$\Delta ACD \sim \Delta BCD$。
2. 角度关系转化：通过相似三角形对应角相等，推导$\angle A = \angle BCD$，并结合$\angle A + \angle ACD = 90^\circ$，最终得到$\angle ACB = 90^\circ$。

步骤1：构造比例关系
由条件$CD^2 = AD \cdot DB$，变形得：
$\frac{BD}{CD} = \frac{CD}{AD}$

步骤2：判定相似三角形
在$\Delta BCD$和$\Delta ACD$中：

• $\angle BDC = \angle ADC = 90^\circ$（$CD$为$AB$的高）
• $\frac{BD}{CD} = \frac{CD}{AD}$（已证比例关系）
  根据SAS相似判定定理，$\Delta BCD \sim \Delta ACD$。

步骤3：推导角度关系
由相似三角形对应角相等，得：
$\angle A = \angle BCD$

步骤4：证明$\angle ACB = 90^\circ$
在$\Delta ACD$中，$\angle A + \angle ACD = 90^\circ$。
又$\angle BCD = \angle A$，因此：
$\angle BCD + \angle ACD = 90^\circ$
即$\angle ACB = 90^\circ$，故$\Delta ABC$为直角三角形。