初等函数在其定义区间内( )A. 都连续B. 不连续C. 有的连续，有的不连续D. 以上说法都是错误的

考查要点：本题主要考查对初等函数连续性的理解，需要明确初等函数的定义及其连续性特点。

解题核心思路：

1. 初等函数是由基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数等）经过有限次四则运算和复合运算构成的函数。
2. 基本初等函数在其定义域内是连续的，但通过运算构造的初等函数可能在某些点上出现不连续的情况。
3. 通过具体例子（如$\frac{1}{x}$和$x^2$）分析，说明初等函数在定义区间内的连续性可能因函数形式不同而有所差异。

破题关键点：

• 区分定义域与定义区间：初等函数的定义域是自然存在的，但在特定定义区间内可能存在不连续点（如分母为零的情况）。
• 反例分析：若存在某个初等函数在定义区间内不连续，则选项C成立。

题目解析：

1. 初等函数的连续性：

   • 基本初等函数（如$x^2$）在其定义域内连续。
   • 但通过运算构造的初等函数（如$\frac{1}{x}$）可能在定义域的某些点附近出现不连续的情况。

2. 具体例子分析：

   • $\frac{1}{x}$在$x=0$处不连续：
     • $x=0$不在定义域内，但当$x$趋近于$0$时，函数值趋向无穷大，说明在$x=0$附近存在不连续性。
   • $x^2$在其定义域内连续：
     • 平方函数在全体实数范围内连续。

3. 结论：

   • 初等函数在定义区间内的连续性取决于具体形式，有的连续，有的不连续。