题目
一阶微分方程-(x)^2)dy=(y)^2dx是齐次方程.A对B错
一阶微分方程
是齐次方程.
A对
B错
题目解答
答案
本题考查齐次微分方程的概念.
能化为
的方程称之为齐次方程.
该一阶微分方程可以改写为
，即
的形式，故该一阶微分方程是齐次方程.
因此本题答案选A，排除B.
解析
步骤 1：理解齐次微分方程的定义
齐次微分方程是指可以写成$\dfrac {dy}{dx}=\varphi (\dfrac {y}{x})$形式的方程，其中$\varphi$是某个函数。
步骤 2：将给定的微分方程改写为标准形式
给定的微分方程是$(xy-{x}^{2})dy={y}^{2}dx$。首先，将方程改写为$\dfrac {dy}{dx}$的形式，即$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$。
步骤 3：验证方程是否为齐次方程
将方程$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$改写为$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {{y}^{2}}{x}}{\dfrac {y}{x}-1}$，即$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {y}{x}\cdot \dfrac {y}{x}}{\dfrac {y}{x}-1}$。这表明方程可以写成$\dfrac {dy}{dx}=\varphi (\dfrac {y}{x})$的形式，其中$\varphi (\dfrac {y}{x})=\dfrac {\dfrac {y}{x}\cdot \dfrac {y}{x}}{\dfrac {y}{x}-1}$。因此，该方程是齐次方程。
齐次微分方程是指可以写成$\dfrac {dy}{dx}=\varphi (\dfrac {y}{x})$形式的方程，其中$\varphi$是某个函数。
步骤 2：将给定的微分方程改写为标准形式
给定的微分方程是$(xy-{x}^{2})dy={y}^{2}dx$。首先，将方程改写为$\dfrac {dy}{dx}$的形式，即$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$。
步骤 3：验证方程是否为齐次方程
将方程$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$改写为$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {{y}^{2}}{x}}{\dfrac {y}{x}-1}$，即$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {y}{x}\cdot \dfrac {y}{x}}{\dfrac {y}{x}-1}$。这表明方程可以写成$\dfrac {dy}{dx}=\varphi (\dfrac {y}{x})$的形式，其中$\varphi (\dfrac {y}{x})=\dfrac {\dfrac {y}{x}\cdot \dfrac {y}{x}}{\dfrac {y}{x}-1}$。因此，该方程是齐次方程。