题目
[题目]函数 (x)=x-dfrac (3)(2)(x)^dfrac (1{3)} 在下列区间上不-|||-满足拉格朗日定理条件的是[ ].-|||-(A)[0,1]-|||-(B) [ -1,1] -|||-(C) [ 0,dfrac (27)(8)] -|||-(D) [ -1,0]
题目解答
答案
解析
拉格朗日中值定理的条件是：函数在闭区间上连续，在开区间内可导。本题需判断哪个区间不满足这两个条件。关键点在于分析函数$f(x)=x-\dfrac{3}{2}x^{\dfrac{1}{3}}$的连续性和可导性，尤其注意$x=0$处的导数是否存在。
函数性质分析
- 连续性：$x^{\dfrac{1}{3}}$在全体实数上连续，因此$f(x)$在定义域内连续。
- 可导性：计算导数$f'(x)=1-\dfrac{1}{2}x^{-\dfrac{2}{3}}$，当$x=0$时，分母为0，导数不存在。
选项分析
(A) [0,1]
- 连续性：在闭区间$[0,1]$上连续。
- 可导性：在开区间$(0,1)$内$x \neq 0$，导数存在。
- 结论：满足条件。
(B) [-1,1]
- 连续性：在闭区间$[-1,1]$上连续。
- 可导性：在开区间$(-1,1)$内，$x=0$处导数不存在。
- 结论：不满足可导条件。
(C) [0,27/8]
- 连续性：在闭区间$[0,\dfrac{27}{8}]$上连续。
- 可导性：在开区间$(0,\dfrac{27}{8})$内导数存在。
- 结论：满足条件。
(D) [-1,0]
- 连续性：在闭区间$[-1,0]$上连续。
- 可导性：在开区间$(-1,0)$内$x \neq 0$，导数存在。
- 结论：满足条件。