从1,2,3,4四个数中取出不同的两个数，若事件A表示“这两个数互素”,则事件A包含( )个样本点.A. 6B. 8C. 10D. 14

本题考查古典概型中样本点的概念以及互素的定义，解题思路是先确定从$4$个数中取出不同两个数的所有组合情况，再根据互素的定义判断哪些组合满足事件$A$，最后统计满足条件的样本点个数。

步骤一：计算从$4$个数中取出不同两个数的所有组合数

从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$4$个数中取出不同的两个数，即$n = 4$，$m = 2$，则组合数为：
$\begin{align*}C_{4}^2&=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}\\&=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)\times(2\times1)}\\&=\frac{24}{4}\\&= 6\end{align*}$
这$6$种组合分别为$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,4)$、$(2,3)$、$(2,4)$、$(3,4)$。

步骤二：根据互素的定义判断哪些组合满足事件$A$

互素是指两个数的最大公因数为$1$。

• 对于$(1,2)$，$1$和$2$的最大公因数是$1$，所以$(1,2)$满足互素条件。
• 对于$(1,3)$，$1$和$3$的最大公因数是$1$，所以$(1,3)$满足互素条件。
• 对于$(1,4)$，$1$和$4$的最大公因数是$1$，所以$(1,4)$满足互素条件。
• 对于$(2,3)$，$2$和$3$的最大公因数是$1$，所以$(2,3)$满足互素条件。
• 对于$(2,4)$，$2$和$4$的最大公因数是$2$，不满足互素条件。
• 对于$(3,4)$，$3$和$4$的最大公因数是$1$，所以$(3,4)$满足互素条件。

步骤三：统计满足条件的样本点个数

满足互素条件的组合有$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,4)$、$(2,3)$、$(3,4)$，共$5$个。
但是这里我们只考虑了无序组合，而样本点是考虑顺序的，例如$(1,2)$和$(2,1)$是不同的样本点。
对于每一组满足互素条件的无序组合，都有$2$种不同的顺序，所以满足事件$A$的样本点个数为$5\times2 = 10$个。